Frage zum Einschließungskriterium

Question

 Hi,

ich habe mal eine Frage zum Einschließungssatz. Ich bearbeite gerade eine Aufgabe und weiß nicht so ganz, inwiefern dieser Satz hier angewendet wurde. Ich soll den Grezwert folgender Folge bestimmen:

$$\frac{q^{n}}{\sqrt{q^{n}+n}-\sqrt{n}}$$

und die Lösung geht so:

Fall \( 1: q \leq 1 . \) Wir wenden dann das Einschließungskriterium an:
\[
0 \leq a_{n}=\frac{q^{n}}{\sqrt{q^{n}+n}+\sqrt{n}} \leq \frac{1}{\sqrt{q^{n}+n}+\sqrt{n}} \leq \frac{1}{\sqrt{n}} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0
\]

Nun frage ich mich aber, wie hier der Einschließungssatz angewendet wurde, wenn der Ausdruck des Grenzwertes der bestimmt werden soll gar nicht in der Mitte der Ungleichung steht. Ist das nicht gerade die Voraussetzung, dass man noch zwei andere Ausdrücke hat, von denen jeweils einer kleiner und der andere größer ist als der, dessen Grenzwert bestimmt werden soll?

Answer 1

Aloha :)

Ich fürchte, die Folge konvergiert nicht:$$a_n=\frac{q^n}{\sqrt{q^n+n}-\sqrt{n}}=\frac{q^n\cdot\left(\sqrt{q^n+n}+\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{q^n+n}-\sqrt{n}\right)\cdot\left(\sqrt{q^n+n}+\sqrt{n}\right)}$$$$\phantom{a_n}=\frac{q^n\cdot\left(\sqrt{q^n+n}+\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{q^n+n}\right)^2-\left(\sqrt{n}\right)^2}=\frac{q^n\cdot\left(\sqrt{q^n+n}+\sqrt{n}\right)}{q^n+n-n}=\frac{q^n\cdot\left(\sqrt{q^n+n}+\sqrt{n}\right)}{q^n}$$$$\phantom{a_n}=\sqrt{q^n+n}+\sqrt{n}\to\infty$$

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Vielen Dank:)