Topologie: Überdeckungskompakte Mengen?

Question

Es geht um folgende Definition:

\(X\) heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung von \(X\) zu einer endlichen Teilüberdeckung reduziert werden kann, d. h.: Ist \(I\) eine Indexmenge und ist \(\{U_i : i\in I\}\subset \tau\) mit \(X=\bigcup\limits_{i\in I} U_i\), so exisitiert \(n\in \mathbb{N}\) und \(\{V_1,...,V_n\} \subset \{U_i : i\in I\}\), so dass \(X=\bigcup\limits_{k=1}^{n}V_k\)

In Tutorium Analysis 2 und Lineare Algebra 2 wird folgende Abbildung gegeben (mit abweichender Notation):

Ich verstehe in der Definition (oben) nicht wirklich, warum von einer "Teilüberdeckung" gesprochen wird, wenn am Ende \(X=\bigcup\limits_{k=1}^{n}V_k\) gelten soll. Ich verstehe das so wie beim Riemann-Integral. Die Mengen drumherum werden immer "feiner" gewählt, so dass irgendwann nichts mehr "überlappt". Mit "Überlappen" meine ich, dass kein Stück "raushängt" und die Mengen die Obermenge "ausfüllen".

Answer 1

warum von einer "Teilüberdeckung" gesprochen wird

Mit endliche Teilüberdeckung ist gemeint, dass bereits eine endliche Teilmenge von {U_i:i∈I} die Menge X überdeckt.

Insbesondere ist nicht gemeint, dass X nur teilweise überdeckt wird.

Ich verstehe das so wie beim Riemann-Integral.

Das ist nicht der Fall. Vielmehr kann man aus {U_i:i∈I} Elemente so entfernen, dass nur noch endlich viele Mengen übrig bleiben und X durch diese trotzdem vollständig überdeckt wird.

Comments

Ich finde den Begriff etwas irreführend, da ich davon ausgegangen bin, dass eben nur ein Teil der Menge überdeckt wird - das macht aber keinen Sinn!

Danke für die schnelle und treffende Rückmeldung.

Grüße

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Das mit dem Riemann-Integral war auch nicht so gemeint, dass man immer mehr kleinere Mengen hat, sondern, dass man (wenn wir jetzt mal die Grafik betrachten) immer kleinere Teilmengen von den Mengen nimmt, die halt "feiner" sind: Z. B. würde man nur denjenigen Teil der einen Menge nehmen:

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Ich finde den Begriff etwas irreführend

Das ist es auch. Definitionen tauchen manchmal auf, wo man sie überhaupt nicht erwartet. Zum Beispiel wurde in der Aufgabenstellung "es gibt eine endliche Teilüberdeckung" definiert als

         [es] exisitiert n∈ℕ und {V₁,...,V_n}⊂{U_i:i∈I}, so dass X=⋃_k=1..nV_k.

Und zwar mittels des Operators "d.h." :-)

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Z. B. würde man nur denjenigen Teil der einen Menge nehmen:

Gerade diese Menge kann man aus {U_i:i∈I} rauswerfen, weil es eine andere Menge gibt, die den gleichen Teil von K überdeckt und noch zusätzlich weitere Teile von K überdeckt.

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Okay, dann habe ich zumindestens mal ein Modell vor Augen. (:

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Noch eine kurze Verständnisfrage: Würde das im Umkehrschluss bedeuten, dass \(K\subset X\) kompakt ist, wenn \(K\) kompakt bzgl. der Relativtopologie ist?

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Welche Relativtopologie meinst du?

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Ich konnte die Frage mittlerweile selbst beantworten. Danke.