Sachtextaufgabe zu Ableitungen von Funktionen mit eulerscher Zahl

Question

Also meine erste Funktion lautet: f(x)= 1000x^2 * e^-x

Für die erste Ableitung hab ich die Produktregel verwendet:

f'(x)=2000x*e^-x + 1000x^2*e^-x

da: u(x)=1000x^2 u'(x)=2000x

v(x)=e^-x v '(x)=e^-x

Meine Frag ist nun, (wie ich schritt für schritt!!!!) zur 2. und 3. Ableitung gelange. Hab schon ein paar Dinge ausprobiert, allerdings haben mich die Lösungen dann irritiert und denen kann man auch nicht immer trauen (habe schon öfters die Erfahrung gemacht)

Wäre dankbar für eine möglichst schnelle Antwort !

Answer 1

Bei e-Funktionen sollte man möglichst immer den e-Term ausklammern

f '(x) = 2000·x·e^{-x} - 1000·x^2·e^{-x} = 1000·e^{-x}·(2·x - x^2)

Jetzt nochmal die Ableitung via Produktregel machen

f ''(x) = -1000·e^{-x}·(2·x - x^2) + 1000·e^{-x}·(2 - 2·x) = 1000·e^{-x}·(x^2 - 4·x + 2)

Jetzt wieder die Ableitung machen

f '''(x) = -1000·e^{-x}·(x^2 - 4·x + 2) + 1000·e^{-x}·(2·x - 4) = -1000·e^{-x}·(x^2 - 6·x + 6)

Comments

Aber wieso das Minus zwischen 2000x*e^-x und 1000x^2 * e^-x ? Bei der Produktregel addiert man doch oder nicht ?

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Achtung. Denk an die innere Ableitung von e^-x. Die innere Ableitung ist -1!

f(x) = 1000·x^2·e^{-x}

f'(x) = 2000·x·e^{-x} + 1000·x^2·e^{-x} * (-1) = 2000·x·e^{-x} - 1000·x^2·e^{-x}