Gebrochenrationale Fkt. integrieren gegen unendlich

Question

ich soll geborchenrationale Funktionen integrieren. Dabei habe ich zwei Probleme:

1. Das "dx" steht als Zähler im Bruch, bisher stand es immer dahinter.

2. Bisher waren die Integrationsgrenzen immer reelle Zahlen

Eine der Aufgaben ist beispielsweise:

\( \int \limits_{1}^{\infty} \frac{d x}{x^{3}} \)

Meine Herangehensweise war diese:

Ich hab die Aufgabe einfach umgeschrieben und das dx dahintergesetzt und durch eine 1 ersetzt. Dann hab ich eine Grenzwertbetrachtung mit lim durchgeführt. Ist das so richtig?

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x)=x^{-3}=F(\infty)-F(1)=\infty^{-3}-\left(1^{-3}\right)=\infty-1=\infty \)

Demnach würde der Flächeninhelt also gegen unendlich gehen oder?

Answer 1

Hi,

Ob Du jetzt

\(\int \frac{dx}{x^3}\) oder \(\int \frac{1}{x^3} dx\) hast, spielt keine Rolle ;).

Du musst doch erst noch integrieren?! Du kannst nicht sofort die Grenzen einsetzen.

$$\int_1^{b} -\frac{1}{x^3}dx = \left[-\frac{1}{2x^2}\right]_1^b = -\frac{1}{2b^2}-(-\frac{1}{2*1}) = \frac12$$

Da \(b\to\infty\) und damit \(\frac1b = 0\)

(Da unendlich keine Zahl ist, wird dafür meist ein b eingesetzt und dieses strebt gegen unendlich ;))

Grüße