Grenzwert bestimmen gegen unendlich

Question

Aufgabe: Ich möchte den Limes bestimmen.

(\( \lim\limits_{x\to\infty} \)\( \frac{4n+3}{5n-1} \)*(\( \frac{3}{2} \)+\( \frac{2}{n+1} \) )  )

Problem/Ansatz:

Ich habe mir erstmal überlegt, die Rechnung zusammen zu rechnen. Aber das ist eine recht lange Rechnung und ich weiß auch nicht, ob die zum Erfolg führt. Deshalb habe ich die erstmal weg gelassen. Die Frage ist jetzt, ob man das alles zusammen rechnen muss, oder ob man etwas streichen bzw. ablesen kann.

Denn wenn ich es ablesen komme ich als Grenze auf 1,2.

Darauf komme ich, wenn ich im ersten Bruch n ausklammer und dann den Bruch, der gegen 0 läuft, streiche.

Dann habe ich \( \frac{4}{5} \).

Bei dem zweiten Bruch bleibt das stehen und im letzten Bruch sieht man ja, dass der gegen 0 läuft. Daher streiche ich den auch. Also am Ende \( \frac{4}{5} \)* \( \frac{3}{2} \) = 1,2

Falls jemand ein Tipp hat, wie man vorgeht, wäre ich sehr dankbar.

Danke Euer Zeppi

Answer 1

Hallo

dein Vorgehen ist richtig, du benutzt dabei dass das der lim eines Produktes gleich dem Produkt der lim ist, wen beide lim existieren,

der andere Weg wäre  die Klammer auszumultiplizieren und die 2 Summanden zu untersuchen,  beide indem man durch  n  kürzt

(was du "die Rechnung zusammen zu rechnen." nennst versteh ich nicht, wenn du das Auflösen der Klammer meinst, seh ich nicht, warum das "lang" ist)

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

$$\phantom{=}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{4n+3}{5n-1}\cdot\left(\frac{3}{2}+\frac{2}{n+1}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{4+\frac{3}{n}}{5-\frac{1}{n}}\cdot\left(\frac{3}{2}+\frac{2}{n+1}\right)$$$$=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}\left(4+\frac{3}{n}\right)}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(5-\frac{1}{n}\right)}\cdot\left(\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{3}{2}\right)+\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{2}{n+1}\right)\right)=\frac{4}{5}\cdot\left(\frac{3}{2}+0\right)=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}$$

Der Grenzwert ist additiv und multiplikativ, sofern alle Grenzwerte existieren:

$$\lim(a_n\pm b_n)=\lim a_n\pm \lim b_n$$$$\lim(a_n\cdot b_n)=\lim a_n\cdot \lim b_n$$$$\lim\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\left(\frac{\lim a_n}{\lim b_n}\right)\quad;\quad \lim b_n\ne0$$

Comments

Danke für die ausführliche Rechnung :)