Grenzwert gegen unendlich einer Funktion bestimmen

Question

Wie berechnet man folgenden Grenzwert? $$ \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{e^x+\arctan(x)}{e^{x}+\sin(x)} $$Mit L'Hospital erhalten wir $$ \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{e^x+\dfrac{1}{x^2+1}}{e^{x}+\cos(x)}$$ aber wie dann weiter?

Answer 1

mit e^x kürzen gibt

( 1 + 1 / ( e^x * (1+x^2) )   )    /   (   1 +   cos(x) /  e^x )

Zähler und Nenner gehen gegen 1 , also Grenzwert 1

Answer 2

lim x -> ∞ [ arctan(x) ] = pi /2
lim x -> ∞ [ sin (x) ] = nicht definiert, osziliert zwischen -1 und + 1

für x -> ∞
e^x + arctan ( x ) = e^x
e^x + sin (x ) = e^x

e^x / e^x = 1