Problemlösung mit der Binomialverteilung!

Question

Aufgabe:

Wie viele Schüler/-innen müsste man wenigstens befragen, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens einen Raucher zu finden, größer als 99% ist?

Problem: Procedere und Ansatz

Hallo erstmal. Ich habe mir diese Aufgabe angeschaut und komme jedoch seit 20min nachdenken auf keinen logischen Ansatz.

Mir ist bewusst, dass das n unsere unbekannte ist und wir danach suchen, aber nun ist erstmal die frage wie ich denn dies schriftlich notieren müsste.

Ich meine in meinem Buch irgendwas mit logarithmus gesehen zu habe und das man das n so quasi rauszieht, aber das Procedere davor ist komplett verwirrend dargestellt.

Würde mich um jede Hilfe von euch freuen! Und ja falls der ein oder andere sagen wird "Wir schicken keine Lösungen, damit du nichts machen musst", antworte ich bereits im Voraus, dass ich dies nicht bezüglich irgendeiner Hausaufgabe tue, sondern vielmehr zur Besserung meiner mathematisch schwächeren Themen wie unter anderem die Stochastik

Comments

In der Aufgabenstellung ist sicher irgendwo angegeben, wieviel Raucher es anteilsmäßig in der Grundgesamtheit gibt?

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Ja davor und zwar wurden 120 Schüler/-innen befragt, aber das bezieht sich nicht auf diese Teilaufgabe, denn hier soll ich ja gerade n ermitteln aufgrund der neuen Rahmenbedingungen

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Ohne den Raucherprozentsatz p kann man das nicht lösen bzw. nur in Abhängigkeit von p.

P(X>=1) = 1-P(X=0)

1-(1-p)^n> 0,99

(1-p)^n < 0,01

n > ln0,01/ln(1-p)

Sei p = 1/3

--> n=12

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Die wahrscheinlichkeit war vorher angegeben mit 35% aller Schüler rauchen

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dann gilt;

n> ln0,01/ln0,65

n> 10,69 → n= 11

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Vielen Dank.

Ich rechne das ganze mal kurz selber nach und schaue ob ich das dann auch so rausbekomme

Answer 1

Wie viele Schüler/-innen müsste man wenigstens befragen, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens einen Raucher zu finden, größer als 99% ist?

p ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler raucht.

1 - p ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler nicht raucht.

(1 - p)^n ist die Wahrscheinlichkeit, dass n befragte Schüler nicht rauchen.

1 - (1 - p)^n ist die Wahrscheinlichkeit, dass von n befragten Schülern bind. einer raucht.

Diese Wahrscheinlichkeit soll großer 99% sein

1 - (1 - p)^n > 0.99 --> n > ln(1 - 0.99)/ln(1 - p)

Hat man jetzt klein P gegeben kann  man auch die Anzahl der Schüler berechnen die man mind. befragen muss.

Comments

35% aller Schüler rauchen. Also wäre p=0,35

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35% aller Schüler rauchen. Also wäre p=0,35

Richtig.

n > ln(1 - 0.99)/ln(1 - 0.35) = 10.69

Damit muss man mind. 11 Schüler befragen.

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Vielen Dank. Erstmal habe ich soweit verstanden, ich schaue aber kurz trotzdem vertieft alles durch

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Mach das. Und schau dir von diesen "Mindestens 3 mal Mindestens-Aufgaben" ruhig noch welche an.

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Ich habe das anders vom Ansatz, aber bin deinem Pfad ein wenig gefolgt und habe auch ungegähr n=11 raus. Vielen Dank erstmal!

Mein Ansatz war: P(x>=1)>0,99 , weil das quasi die Rahmenbedingung der aufgabe ist.

Dann habe ich die Gegenwarscheinlichkeit der nichtraucher zusammengefasst mit P(x=0)=0,65^n (denn 1-0,35 ist das gegen p zu 0,35)

Danach habe ich einfach 0,65^n <=0,01 gerechnet und habe dann mit n=log 0,65(0,01)

n=10,69 raus was gerundet ≈ 11 sind

(Eine Frage, die ich mir schon immer gestellt habe... Wenn ich so wie am Ende bei der 10,69 runde und dann die 11 aufschreibe. Ist es dann korrekt die 11 mit dem ungefähzeichen ≈ aufzuschreiben? Weil man ja dann sagt es sei ungefähr 11 und andere meinten zu mir zumindest, dass das Runden ja ein genaues Ergebnis intendiert, was ja letzendlich gegen das ungefähr sprechen würde)

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Du solltest hier nicht runden. Denn selbst wenn 10.01 herausgekommen wären müsste man bei n > 10.01 aufrunden.

Ich handhabe das so das wenn ich 4 Dezimalzimmern gerundet aufschreibe ich statt dem Ungleichheitszeichen ein Gleichheitszeichen schreibe. Runde ich stärker gebe ich das als ungefähr an. Rein mathematisch solltest du immer wenn du rundest ein Ungefährzeichen schreiben und nicht mehr das Gleichheitszeichen

√2 ≈ 1.41421356

Hier dürfte mathematisch nie ein Gleichheitzzeichen stehen denn Wurzel 2 kannst du als Dezimalzahl nie korrekt aufschreiben. Dazu müsstest du unendlich viele Nachkommastellen hinschreiben.

Das schafft nur Chuck Norris.

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Danke dir!!! Chuck Norris ist echt eine lebende Legende :D

Answer 2

P(X ≥ 1) ≥ 0.99

Icj denke das ist ein mindestens mindestens Fall!

Comments

Okay das ist jetzt dein Ansatz. Dann dazu meine erste Frage und zwar wieso größer gleich 99 und nicht einfach nur größer 99 bei deinem ≥ 0.99 ? Zweitens, was bringt mir diese Information genau bzw. wie muss ich jetzt damit weiter machen?