Grenzwerte von Funktionen. Was ist der Unterschied zwischen den Zahlen ohne + und mit + Zeichen?

Question

Unten ist der Graph einer Funktion f : [1, 6] → R zu sehen. Der ausgefüllte Kringel bei (3,2) bedeutet, dass f(3) = 2, der nicht ausgefüllte Kringel bei (3,1) bedeutet, dass f(3) ist ungleich 1 usw.

 

Lesen Sie am Graphen die folgenden Grenzwerte ab oder begründen Sie kurz, warum sie nicht existieren:

a) $\lim \limits_{x \rightarrow 2-} f(x), \lim \limits_{x \rightarrow 2+} f(x) \operatorname{und} \lim \limits_{x \rightarrow 2} f(x)$

b) $\lim \limits_{x \rightarrow 3-} f(x), \lim \limits_{x \rightarrow 3+} f(x)$ und $\lim \limits_{x \rightarrow 3} f(x)$

c) $\lim \limits_{x \rightarrow 4-} f(x), \lim \limits_{x \rightarrow 4+} f(x)$ und $\lim \limits_{x \rightarrow 4} f(x)$

d) $\lim \limits_{x \rightarrow 5-} f(x), \lim \limits_{x \rightarrow 5+} f(x)$ und $\lim \limits_{x \rightarrow 5} f(x)$

Wie löse ich diese Aufgabe? Was ist der Unterschied zwischen den Zahlen ohne + und mit + Zeichen?

Answer 1

Schau mal unter: https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Funktion)#Einseitige_Grenzw…

Comments

Das ist viel zu abstrakt für mich .. können Sie mir sagen wie Aufgabe a aussehen würde nach dieser Definition von Wikipedia?

Answer 2

Aloha :)

a) Wenn mach sich $x=2$ von links nähert: $\lim\limits_{x\to2-}f(x)=1$.

$\phantom{a)}$Wenn man sich $x=2$ von rechts nähert: $\lim\limits_{x\to2+}f(x)=1$

$\phantom{a)}$Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert sind gleich: $\lim\limits_{x\to2}f(x)=1$

b) Wenn mach sich $x=3$ von links nähert: $\lim\limits_{x\to3-}f(x)=2$.

$\phantom{a)}$Wenn man sich $x=3$ von rechts nähert: $\lim\limits_{x\to3+}f(x)=1$

$\phantom{a)}$Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert sind ungleich: $\lim\limits_{x\to3}f(x)=$nicht definiert.

c) Wenn mach sich $x=4$ von links nähert: $\lim\limits_{x\to4-}f(x)=2$.

$\phantom{a)}$Wenn man sich $x=4$ von rechts nähert: $\lim\limits_{x\to4+}f(x)=3$

$\phantom{a)}$Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert sind ungleich: $\lim\limits_{x\to4}f(x)=$nicht definiert.

d) Wenn mach sich $x=5$ von links nähert: $\lim\limits_{x\to5-}f(x)=2$.

$\phantom{a)}$Wenn man sich $x=5$ von rechts nähert: $\lim\limits_{x\to5+}f(x)=2$

$\phantom{a)}$Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert sind gleich: $\lim\limits_{x\to5}f(x)=2$.

Lass dich bei d) nicht davon irritieren, dass der Funktionswert $f(5)=1$ ist [ausgefüllter Punkt]. Der Grenzwert $\lim\limits_{x\to5}f(x)$ ist trotzdem $2$. Wenn Grenzwert und Funktionswert an einer Stelle unterschiedlich sind, ist die Funktion an dieser Stelle nicht stetig! Bei a) sind Grenzwert und Funktionswert beide gleich $1$. Daher ist bei die Funktion bei $x=1$ stetig.

Answer 3

Vielleicht noch eine Ergänzung zu den leeren Punkten. Das sind "Löcher".

D.h. f(2) = 1

f(3) = 2 und nicht 1

f(4) = 3 und nicht 2

f(5) = 1 und nicht 2

Dann

Was ist der Unterschied zwischen den Zahlen ohne + und mit + Zeichen?

Ohne Plus nach der Zahl muss beim Grenzübergang von links und rechts dasselbe herauskommen.

Es gibt den gleichen Unterschied auch mit dem Minuszeichen hinter den Zahlen.

3- bedeutet Plus3 wird von links her angesteuert. 

Dagegen bedeutet -3-, dass MInus3 von links her angesteuert wird.