Ableitung der Identitätsabbildung

Question

Sei \(U\subseteq\mathbb{R}^N\) offen. Kann mir jemand erklären, wieso die Ableitung der Identität auf U in allen Punkten die Identitätsabbildung auf \(\mathbb{R}^N\) ist, also \(D(\text{id}_U)(p)=\text{id}_{\mathbb{R}^N}\) für alle \(p\in U\)?

Answer 1

wir betrachten den Differenzenquotienten für die Funktion \(f(x)=Id(x) \).

Sei dazu \(x \in \mathbb{R}^N \) fest aber beliebig gewählt. Dann gilt für ein \(h \in \mathbb{R}^N\)

\(f(x+h)-f(x)=x+h-h=x\).

Wählen wir nun als linearen Operator \(A\) gleich die Identitätsabildung \(Af(h)=Id_{\mathbb{R}^N} h\) so gilt

\( \lim\limits_{h\to 0}\frac{||f(x+h)-f(x)-Ah||}{||h||} = \frac{||x+h-h-Ah||}{||h||}=\frac{||x-Ah||}{||h||}=\frac{||x-x||}{||h||}=\frac{||0||}{||h||}=0\)

Also ist unser linearer Operator

\(Af(h)=Df(x)(h)=Id_{\mathbb{R}^N} \square\)