Permutationen berechnen - sgn(ρ), sgn(σ), sgn(ρ ◦ σ) , sgn(ρ ◦ ρ), sgn(ρ ◦ ρ ◦ ρ)

Question

Ich soll die folgenden fünf Zahlen zu berechnen:

sgn(ρ), sgn(σ), sgn(ρ ◦ σ) , sgn(ρ ◦ ρ), sgn(ρ ◦ ρ ◦ ρ)

$$ρ=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 & 1 & 5  \end{pmatrix}$$ $$σ =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 4 & 2 & 1  \end{pmatrix}$$

Wie berechnet man das ? Ich wollte schreiben z.B. für $$sgn(ρ ◦ σ) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 1 & 3 & 2  \end{pmatrix}$$ wäre das richtig? Falls ja, dürfte ich es dann auch für die anderen 4 Fragen benutzen?

Vielen Dank im voraus.

LG :)

Answer 1

\(sgn:\; S_n\rightarrow \{\pm 1\}\) ist ein Gruppenhomomorphismus.

Ist \(\tau\) ein Zykel gerader Länge, dann ist \(sgn(\tau)=-1\).

Für Zykel ungerader Länge gilt \(sgn(\tau)=+1\).

In Zykelschreibweise sind

\(\rho=(1\;2\;3\;4)\) und \(\sigma=(1\;3\;4\;2\; 5)\).

Damit ergibt sich

\(sgn(\rho)=-1,\; sgn(\sigma)=1,\; sgn(\rho\cdot\sigma)=-1,\)

\(sgn(\rho\cdot\rho)=1,\; sgn(\rho\cdot\rho\cdot\rho)=-1\)