Antwort mit KI erzeugt
Aufgabe:
Eine Zerlegung \( Z_1 \) einer Menge \( A \) ist Verfeinerung einer Zerlegung \( Z_2 \), falls jede Menge in \( Z_1 \) Untermenge einer Menge in \( Z_2 \) ist. Seien \( R_1 \) und \( R_2 \) Äquivalenzrelationen in \( A \) und \( Z_1 \) sowie \( Z_2 \) die zugehörigen Zerlegungen. Zeigen Sie \( R_1 \subseteq R_2 \) genau dann, wenn \( Z_1 \) Verfeinerung von \( Z_2 \) ist.
Lösung:
Um die geforderte Aussage zu beweisen, nutzen wir die Tatsache, dass jede Äquivalenzrelation zu einer Zerlegung (oder Partition) der Menge \( A \) führt und umgekehrt.
1. Definitionen:
* Eine Äquivalenzrelation \( R \) auf einer Menge \( A \) ist eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
* Die Zerlegung oder Partition zu einer Äquivalenzrelation \( R \) ist die Menge der Äquivalenzklassen unter \( R \).
Nun dazu, was zu beweisen ist:
2. \(\boldsymbol{(\Rightarrow)}\)
Gegeben: \( R_1 \subseteq R_2 \)
Zu zeigen: \( Z_1 \) ist eine Verfeinerung von \( Z_2 \).
Wir starten mit der Annahme, dass \( R_1 \subseteq R_2 \).
Jede Äquivalenzklasse von \( R_1 \) ist eine Teilmenge einer Äquivalenzklasse von \( R_2 \).
Für jedes \( x \in A \) ist die Äquivalenzklasse zu \( x \) unter \( R_1 \) \( [x]_{R_1} \) eine Teilmenge der Äquivalenzklasse zu \( x \) unter \( R_2 \) \( [x]_{R_2} \), weil \( R_1 \subseteq R_2 \) impliziert, dass wenn \( (x, y) \in R_1 \), dann \( (x, y) \in R_2 \). Das heißt also jede Menge in \( Z_1 \) (Äquivalenzklassen von \( R_1 \)) ist tatsächlich eine Teilmenge einer entsprechenden Menge in \( Z_2 \):
\(
[x]_{R_1} \subseteq [x]_{R_2}
\)
Daraus folgt direkt, dass jede Klasse in \( Z_1 \) eine Untermenge einer Klasse in \( Z_2 \) ist. Also, \( Z_1 \) ist eine Verfeinerung von \( Z_2 \).
3. \(\boldsymbol{(\Leftarrow)}\)
Gegeben: \( Z_1 \) ist eine Verfeinerung von \( Z_2 \).
Zu zeigen: \( R_1 \subseteq R_2 \).
Nehmen wir an, dass \( Z_1 \) eine Verfeinerung von \( Z_2 \) ist.
Dies bedeutet, jede Äquivalenzklasse \( [x]_{R_1} \) ist eine Teilmenge einer Äquivalenzklasse \( [x]_{R_2} \).
Wir müssen zeigen, dass jedes Paar \( (x, y) \in R_1 \) auch in \( R_2 \) liegt. Wenn \( x \) und \( y \) unter \( R_1 \) äquivalent sind, dann liegen sie in derselben Äquivalenzklasse von \( R_1 \):
\(
(x, y) \in R_1 \Rightarrow y \in [x]_{R_1}
\)
Da \( [x]_{R_1} \subseteq [x]_{R_2} \) (weil \( Z_1 \) eine Verfeinerung von \( Z_2 \) ist), ist \( y \) auch in der Äquivalenzklasse \( [x]_{R_2} \):
\(
y \in [x]_{R_1} \Rightarrow y \in [x]_{R_2} \Rightarrow (x, y) \in R_2
\)
Daher ist:
\(
(x, y) \in R_1 \Rightarrow (x, y) \in R_2
\)
Das heißt \( R_1 \subseteq R_2 \).
Zusammenfassend ergibt sich:
\(
Z_1 \text{ ist Verfeinerung von } Z_2 \Leftrightarrow R_1 \subseteq R_2
\)
Damit ist der Beweis vollständig.
