Bijektive Abbildung & Untergruppe zeigen

Question

kann mir jemand bei den Aufgaben helfen?

1. Sei ( G , ∗ ) eine Gruppe. Für fixiertes Element a ∈ G definieren wir die
Abbildung r : G → G durch r(x): = x ∗ a.

a) Zeigen Sie, dass die Abbildung bijektiv ist.

2. Sei ( G , ∗ ) eine Gruppe. Für fixiertes Element a ∈ G definieren wir die
Menge Z a : ={ g ∈ G , a ∗ g = g ∗ a } .

a) Zeigen Sie, dass (Z a , ∗) eine Untergruppe von ( G , ∗ ) ist.


LG

Answer 1

Fragen ohne eigene Überlegungen sind hier eigenlich nicht gerne gesehen. Ich zeige Dir trotzdem wie die a) geht bei der b) kannst Du mal selbst versuchen. Beide Aufgaben sind im Prinzip sehr einfach, weil Du nur die in der Vorlesung gelernten Defintionen anwenden musst.

Zu 1.) a)

Zu Zeigen: Abbildung ist injektiv und surjetiv.

1)Injektivität

Seien x1,x2 ∈ G, dann folgt für die Injektivität:

x1*a=x2*a (Erweitern mit dem Inversen zu a)

x1*a*(a)^-1 = x2*a*(a)^-1 (Def. neutrales Element anweden)

x1*e = x2*e

x1=x2 -> Abbildung ist injektiv.

2)Surjektivität

Sei y∈G, dann folgt für die Surjektivität:

∀y∈G ∃x∈G: τ(x) =y

x*a = y (Erweitern mit Inv. zu a)

x*a*(a)^-1 = y*a^-1 (Def. neutrales Element)

x*e=y*a^-1 

x=y*a^-1  -> Ein solches x existiert, also folgt die Surjektivität.

q.e.d

Pascal

Comments

kannst du mir den Ansatz von 2) geben ?

Dankeschön für die Lösung :)

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Überlege Dir, was gelten muss, damit (Za,*) eine Unterguppe von (G,*) sein kann.

Zunächst muss gezeigt, werden dass Za nicht Element der leeren Menge ist (reine Formsache, leicht zu erkennen).

Dann muss nachgewiesen werden, dass die Menge Za eine Teilmenge von G ist. Du kannst für feste aber beliebige Werte von G schnell zeigen (unter Zuhilfenahme der Definition von Za), dass das erfüllt ist. Schließlich musst Du noch zeigen, dass ∀g∈G, die Verknüpfung mit dem jeweils inversen Element wieder Element von Za ist.

Diese drei Eigenschaften kannst Du ganz leicht anhand der Definition von Za nachweisen :)

MFG

Pascal

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Danke, aber wie schreib ich das alles auf ._.

LG

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Dir den weiteren Lösungsweg erneut ohne jegliche Eigenleistung zukommen zu lassen, halte ich didaktisch für falsch. Ich finde es übrigens nicht gut ,dass Du in einem anderen Forum behauptet hast, die Lösung zu (i) sei Dir selbst eingefallen. Du studierst Mathematik und die Übungsblätter haben den Zweck, Dich auf die Klausur vorzubereiten. Wenn Du die Lösungswege nicht selber auch nur im Ansatz bearbeiten kannst, ist das weniger sinnvoll!

MFG

Pascal