Konvergenzradius: f(x) = Σ n^3 · x^n

Question

Aufgabe:

Konvergenzradius:

(a) \( f(x)=\sum \frac{1}{2^{n}·n} x^{n} \)

(b) \( f(x)=\sum n^{3} x^{n} \)

(c) \( f(x)=\sum \sqrt{1+9^{n}} x^{n} \)

(d) \( f(x)=\sum n^{n} x^{n} \)

Answer 1

Aloha :)

Den Konvergenzradius \(r\) einer Potenzreihe \(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\) kannst du am einfachsten mit einer der folgenden Formeln bestimmen:$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\quad;\quad r=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}$$wobei du diejenige wählen kannst, die am besten passt.

$$\text{a) } \frac{a_n}{a_n+1}=\frac{\frac{1}{2^nn}}{\frac{1}{2^{n+1}(n+1)}}=\frac{2^{n+1}(n+1)}{2^nn}=2\cdot\frac{n+1}{n}=2\left(1+\frac{1}{n}\right)\to 2$$$$\text{b) } \frac{a_n}{a_n+1}=\frac{n^3}{(n+1)^3}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^3=\left(\frac{n+1-1}{n+1}\right)^3=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^3\to1$$$$\text{c) }\frac{a_n}{a_n+1}=\frac{\sqrt{1+9^n}}{\sqrt{1+9^{n+1}}}=\sqrt{\frac{1+9^n}{1+9^{n+1}}}=\sqrt{\frac{\frac{1}{9^n}+1}{\frac{1}{9^n}+9}}\to\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$$$$\text{d) }\frac{1}{\left|\sqrt[n]{n^n}\right|}=\frac{1}{n}\to0$$Im letzen Fall d) liegt keine Konvergenz vor.