Mengenlehre | Aussagenlogik

Question

Ich habe folgende Aufgabe als Beispielaufgabe für eine Klausur bekommen, allerdings erschließt sich mir nicht ganz, was ich denn nun machen muss, bzw. wie ich die Aufgabe lösen kann.

Eine Zahlenmenge M sei durch folgende Eigenschaften definiert:

1. M enthält die Zahl 0.

2. Falls M eine Zahl x enthält, so enthält sie auch x+2.

3. Für jede Zahlenmenge N, die 0 und mit x∈N auch x+2 enthält, gilt M⊆N.

Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

M enthält die Zahl 27

M enthält die Zahl -12

Alle in M enthaltenen Zahlen sind gerade

M enthält eine ungerade natürliche Zahl

Es gibt eine Zahl n, für die gilt, dass sowohl n als auch n+3 in M enthalten sind 

Für jede Zahl n, die in M enthalten ist, gilt, dass auch die Zahl 3n in M enthalten ist.

Es gibt eine Zahl in M, die durch 125 ohne Rest teilbar ist.

 

Ich weiß jetzt nicht genau, welche Zahlen in M enthalten sind. Ist es nur die 0, da kein x definiert ist und es ja heißt "Falls eine Zahl x enthalten ist"? Sind in M vielleicht doch alle geraden Zahlen enthalten (...,-4,-2,0,2,4,...) oder nur alle natürlichen geraden Zahlen (0,2,4,6,...)? Warum wird N hier definiert? Braucht man N in irgendeiner Art und Weise? 
Meiner Meinung nach fehlt eine wichtige Prämisse, die x definiert.

Hoffentlich kann mir jemand helfen.
 

Answer 1

M enthält die Null, also $$M = \{0, ...\}$$. Und für jedes x aus M enthält M auch x + 2. Das "erste" x wäre ja 0, bisher enthält M ja noch keine andere Zahl. Also enthält x auch x+2 = 0+2 = 2. Jetzt enthält M auch die 2. Für jedes x aus M enthält M auch x + 2. Jetzt haben wir ja schon die 0 und die 2. Für die 0 brauchen wir das nicht nochmal durchdenken, das haben wir schon. Aber für die 2. Wenn x = 2 ist, ist auch x + 2 = 2 + 2 = 4 enthalten. Und so weiter...

Also insgesamt ergibt sich

$$M = \{0,2,4,6,8,...\}$$

 

Warum N definiert wird, weiss ich auch nicht. Die hat ja dieselbe Definition wie M. Damit ist auch klar, dass M in N enthalten ist.

 

M enthält die Zahl 27 Nein, da M nur gerade Zahlen enthält

M enthält die Zahl -12 Nein, da M nur positive Zahlen enthält

Alle in M enthaltenen Zahlen sind gerade Ja

M enthält eine ungerade natürliche Zahl Nein

Es gibt eine Zahl n, für die gilt, dass sowohl n als auch n+3 in M enthalten sind Nein. Sei n in M. Dann ist n = 2a gerade. 2a + 3 = 2a + 2 + 1 = 2(a+1) + 1 ist ungerade und somit nicht in M enthalten.

Für jede Zahl n, die in M enthalten ist, gilt, dass auch die Zahl 3n in M enthalten ist. Ja. Sei n in M. Dann ist n = 2a gerade. 3*(2a) = 2*(3a) ist gerade, also auch in M enthalten.

Es gibt eine Zahl in M, die durch 125 ohne Rest teilbar ist. Ja, die 250 und Vielfache davon

Comments

P.S.: Die natürlichen Zahlen kann man ja ähnlich definieren:

1) 1 ist in N

2) für jedes x in N ist x+1 in N

(Kurzfassung)