Hallo Tobi,
Man berechne alle imaginären Zahlen z (Realteil von z ist 0), die die Beziehung |z-(-4+j)| >= 5 erfüllen.
Ich empfehle bei sowas immer, sich eine geometrische Vorstellung von dem Problem zu machen. Somit es möglich ist - versteht sich! Hier geht das sehr schön:
https://jsfiddle.net/0aus3f81/
Oben habe ich Dir einen Punkt \(z\) in die imaginäre Ebene gesetzt, den Du mit der Maus beliebig verschieben darfst. Der Term \(z - (-4+j)\) ist der grüne Punkt, der sich ergibt, wenn man von \(z\) \((-4+j)\) abzieht. Die Forderung ist nun, dass der Betrag - also die Länge der roten Strecke - größer oder gleich 5 sein soll$$|z - (-4+j)| \ge 5$$Wo kannst Du \(z\) also hinschieben, ohne das der grüne Punkt in den (schwarzen) Kreis mit Radius 5 eintaucht?
Lösung: \(z\) darf nicht innerhalb des grünen Kreises liegen.
Da der Realteil von \(z\) gleich 0 sein soll, kommen nur Werte auf der imaginären Achse in Frage. Der grüne Kreis schneidet die imaginäre Achse bei \((0;4j)\) und \((0;-2j)\) - demnach ist die gesuchte Lösungsmenge $$\mathbb{L} = \{ z = bj: b \le -2j \space \lor \space 4j \le b\}$$
Wie rechnet man das jetzt aus? Bei Beträgen hilft oft quadrieren und \(z\) kann man bereits auf \(z=bj\) reduzieren: $$\begin{aligned} |bj - (-4 + j)|^2 &\ge 25 \\ (b-1)^2 + 4^2 & \ge 25 && \left|\, -16 \right. \\ (b-1)^2 &\ge 9 &&\left| \, \sqrt \space\right. \\ |b-1| & \ge 3 \end{aligned}$$jetzt kann man noch eine Fallunterscheidung machen, oder mit etwas Erfahrung auch sehen, dass \(b \le -2\) oder \(b \ge 4\) sein muss.
Man berechne und zeichne dann in der Gaußschen Zahlenebene den Bereich, für den die komplexe Größe z der Ungleichung |z+3| >= 2 genügt.
Mache Dir eine Zeichnung. Zeiche eine beliebigen Punkt \(z\), addiere den Wert \((3;\, 0)\) - wie oben \((-4+j)\) - und überlege, wo \(z\) sein muss, damit die Summe nicht in einen Kreis um den Ursprung mit Radius 2 hinein fällt. Falls Du nicht klar kommst, so frage nach.
Gruß Werner
