Hallo Zissy,
Ich muss den Real- und den Imaginärteil der folgenden Zahlen bestimmen: \(z=i^2\)
und ich habe so gemacht \(z=a+bi\), \(i^2= -1\), dann \(a+bi=-1\)
die imaginäre Zahl \(i\) ist definiert als die Lösung der Gleichung $$i^2 = -1$$und damit ist das gesuchte \(z=i^2 = -1\). \(-1\) ist eine reelle Zahl, also der Realteil, und einen Imaginärteil gibt es hier nicht, der ist also 0. Formal könnte man auch schreiben$$z = i^2 = a + bi = -1 + 0 \cdot i$$
und diese verstehe ich leider nicht \(z=1/i\)
Na ja - Du verstehst sicher, dass es sich um eine Division handelt. Stehen komplexe Zahlen im Nenner \(n\) eines Bruches so kann man Real- und Imaginärteil nicht direkt ablesen. Man bedient sich dann eines Tricks. Erweitere den Bruch mit der konjugiert Komplexen \(\bar n\). Ist $$n = a + bi$$ dann ist die konjugiert komplexe $$\bar n = a - bi$$Das Produkt aus einer komplexen Zahl und ihrer konjugiert Komplexen ist immer reel:$$n \cdot \bar n = (a+bi)(a-bi) = a^2 - b^2 \cdot i^2 = a^2 + b^2$$Und da \(i = 0 + 1\cdot i\) ist \(\bar i = 0 - 1 \cdot i = -i\). Also erweitere hier mit \(-i\):$$z = \frac 1i = \frac{-i}{i \cdot (-i) } = \frac {-i}1 = -i = 0 + (-1) \cdot i$$Der Realteil ist also 0 und der Imaginärteil \(-1\).
\(z=e^{i2 \pi}\) (wie ich weiss \(e^{i2\pi}=0\), dann wie macht man das weiter?)
Dann ist es doch einfach! $$z=e^{i2 \pi} = 0 = 0 + 0 \cdot i$$Real- und Imaginäteil sind \(=0\)
\(z=e^{-i \pi/2}\)
Dazu sollte man auch wissen, dass sich jede komplexe Zahl \(z\) als $$z = r \cdot e^{i \varphi} = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$$schreiben lässt. Hier ist \(r=1\) und \(\varphi = - \pi / 2\)$$ z = e^{-i \frac {\pi} 2} = \cos \left( - \frac{\pi}2\right) + i \sin \left( - \frac{\pi}2\right) = 0 + i \cdot (-1) = -i$$
$$\frac 1{i^3} +\frac 1{i^5} - \frac 1{1+i}$$
mit den Informationen von oben solltest Du das alleine schaffen. Zur Kontrolle das Ergebnis:
$$\frac 1{i^3} +\frac 1{i^5} - \frac 1{1+i} = -\frac 12 + \frac 12 i$$
Nachtrag:
Noch ein Hinweis zur Bestimmung des Kehrwerts einer komplexen Zahl \(z\):$$\frac 1z = \frac 1{r e^{i\varphi}} = \frac 1r e^{i\cdot (-\varphi)} = \frac 1{r^2} r e^{i\cdot (-\varphi)} = \frac 1{r^2} \bar z$$Dies lässt sich graphisch in der Gauß'schen Zahlenebene darstellen, als eine Spiegelung an der reellen Achse (\(z \to \bar z\)) und einer zusätzlichen Spiegelung am Einheitskres (blau) (\(z \to z/r^2\)):
https://jsfiddle.net/93wdchrb/
Bewege den Punkt \(Z\), der die Zahl \(z\) in der Gauß'schen Ebene darstellt, mit der Maus und der Wert für \(1/z\) wird stets aktualisiert. Fahre z.B. mit \(Z\) auf \(i\) oder auf \(i+1\) - mit diesem Wissen und etwas Übung kann man dann die Kehrwerte für einige Werte von \(z\) direkt 'sehen' ohne zu rechenen. Tipp: das \(r^2\) bei \(i+1\) ist \(=2\) und das \(r^2\) für alle \(z\) auf dem Einheitskreis ist \(=1\).
