Berechnen Sie Real- und Imaginärteil der komplexen Zahlen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie Real- und Imaginärteil der komplexen Zahlen

a) $$(1+i)^{10} + (1-i)^{10}$$

b) $$exp((\frac{2+3i}{2-i})^{2})$$

c)$$(\frac{1+i\sqrt{3}}{2})^{2022}$$

Vielen Dank :)

Answer 1

a)

(1+i)^10 = ((1+i)^2)^5

= (2i)^5 = 32i

(1-i)^10 = ((1-i)^2)^5

= -(2i)^5 = -32i

Summe = 0

Answer 2

Hallo,

entweder in Polarform, oder:

a)

(1+i)²=1²+2i+i² =2i

(2i)^5=32•i^4 •i=32i  , da i^4=1

Ebenso:

(1-i)^{10}=-32i

--> Summe = 0

b) sieht für mich falsch aus.

c)

\((\frac{1+i\sqrt{3}}{2})^{3}=-1\)

\((\frac{1+i\sqrt{3}}{2})^{2022}=1\)

Answer 3

b) Vielleichtist es so gemeint:

\((\frac{2+3i}{2-i})^{2}=\frac{(2+3i)^{2}}{(2-i)^{2}}=\frac{4+12i+9i^2}{4-4i+i^2}=\frac{4+12i-9}{4-4i-1} =\frac{-5+12i}{3-4i}\)

\(\frac{-5+12i}{3-4i}=\frac{(-5+12i)*(3+4i)}{(3-4i)*(3+4i)}=\frac{-15-20i+36i-48}{9+16}=\frac{-63+16i}{25}=-\frac{63}{25}+\frac{16}{25}*i\)