2√a ((√a + 1) − √a) < 1

Question

Aufgabe

Es seien (K, +, ·) ein geordneter Körper und a, x ∈ K. Wenn 0 < x und x² = a gelten, dann sagen
wir, dass a eine positive Quadratwurzel besitzt und setzen a^1/2 := √a := x.
Zeigen Sie, dass

\( 2 \sqrt{a}(\sqrt{a+1}-\sqrt{a})<1 \)

wenn a und a + 1 positive Quadratwurzeln besitzen

Answer 1

In so einem Körper rechnest du ja ganz ähnlich wie in ℝ, also so

$$2\sqrt{a}(\sqrt{a+1}-\sqrt{a})\lt1$$

$$<=>2(\sqrt{a+1}-\sqrt{a})\lt\frac{1}{\sqrt{a}}$$

Und weil die Summe der Wurzeln positiv ist

$$<=>2(\sqrt{a+1}-\sqrt{a})(\sqrt{a+1}+\sqrt{a})\lt\frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}$$

$$<=>2(a+1-a)\lt  \frac {\sqrt{a+1}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}$$

$$<=>2\lt  \frac {\sqrt{a+1}}{\sqrt{a}}+1$$

$$<=>1\lt  \frac {\sqrt{a+1}}{\sqrt{a}}$$

Und  $$   \sqrt{a+1}    \gt    \sqrt{a}$$

zeigst du mit der Definition.