Aloha :)
Gegeben: 38 Streichhölzer, 29 kurze, 9 lange.
zu a) Von den 38 Streichhölzern werden 4 gleichzeitig gezogen. Dafür gibt es \(\binom{38}{4}\) Möglichkeiten. Gefragt ist nach der Wahrscheinlichkeit, (mindestens) 2 zu kurze Streichölzer zu ziehen. Von den 29 zu kurzen Streichhölzern müssen also 2, 3 oder 4 gezogen werden und gleichzeitig müssen von den 9 langen 2, 1 oder 0 gezogen werden. Formal bedeutet das:
$$P(\ge2)=\frac{\binom{29}{2}\binom{9}{2}}{\binom{38}{4}}+\frac{\binom{29}{3}\binom{9}{1}}{\binom{38}{4}}+\frac{\binom{29}{4}\binom{9}{0}}{\binom{38}{4}}=\frac{406\cdot36}{\binom{38}{4}}+\frac{3654\cdot9}{\binom{38}{4}}+\frac{23\,751\cdot1}{\binom{38}{4}}$$$$\phantom{P(\ge2)}=\frac{71\,253}{73\,815}=96,53\%$$
zu b) Jetzt werden die Streichhölzer einzeln gezogen, geprüft und wieder zurückgelegt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zu kurzes Streichholz gezogen wird ist (wegen des Zurücklegens) konstant: \(p=\frac{29}{38}\). Gesucht ist die Wahrscheinlichkiet, bei 4 Wiederholungen 3 (oder 4) zu kurze Streichhölzer zu ziehen:
$$P(=3)=\binom{4}{3}p^3(1-p)^1=4\cdot\left(\frac{29}{38}\right)^3\cdot\left(\frac{9}{38}\right)^1=42,1078\%$$$$P(=4)=\binom{4}{4}p^4(1-p)^0=1\cdot\left(\frac{29}{38}\right)^4\cdot\left(\frac{9}{38}\right)^0=33,9201\%$$$$P(\ge3)=P(=3)+P(=4)=76,03\%$$
