Wahrscheinlichkeitsrechnung - Urnenmodell mit Zurücklegen

Question

Aufgabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung- Urnenmodell mit Zurücklegen

In einer undurchsichtigen Urne befinden sich 12 gleich große Kugeln (2 rote, 4 blaue, 6 grüne), von
denen nacheinander 3 Kugeln gezogen werden. Nach jeder Ziehung wird die Kugel wieder in die Urne
zurückgelegt.
a) Stellen Sie das Zufallsexperiment in einem Baumdiagramm dar.
b) Ermitteln Sie für das angegebene Ereignis die Wahrscheinlichkeit seines Eintretens.
(1) Alle gezogenen Kugeln sind grün.
(2) Alle gezogenen Kugeln sind rot.
(3) Zwei gezogene Kugeln sind blau und eine Kugel ist grün.
(4) Die zweite gezogene Kugel ist rot.
(5) Alle gezogenen Kugeln haben verschiedene Farben.
(6) Mindestens eine gezogene Kugel it blau.
(7) Höchstens eine gezogene Kugel ist rot.
(8) Es kommt keine Farbe bei den gezogenen Kugeln häufiger vor als grün.
(9) Nach einer blauen Kugel wird keine rote Kugel mehr gezogen.
c) Wie verändern sich das Baumdiagramm in Teilaufgabe a) und die Wahrscheinlichkeiten für die
Ergebnisse in Teilaufgabe b) beim Ziehen ohne Zurücklegen?

Problem/Ansatz:

… Ich bin mir sehr unsicher wie das Ganze mit dem Zurücklegen funktionieren soll, da ich Lücken in dem Themenbereich „Wahrscheinlichkeitsrechnung/Stochastik“ habe (und zum Teil mir dies in der Einführungsphase nur kurz erklärt wurde)

Comments

Hallo,

wenn du weißt, wie das Baumdiagramm aussieht und die Übergangswahrscheinlichkeit von Knoten zu Knoten auffschreiben kannst, kannst du die Pfadregeln anwenden. Vielleicht sagt dir auch die hypergeometrische Verteilung etwas.

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Vielleicht sagt dir auch die hypergeometrische Verteilung etwas.

Wozu wäre das bei dieser Aufgabe wichtig, dass einem die hypergeometrische Verteilung etwas sagt?

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Wozu wäre das bei dieser Aufgabe wichtig, dass einem die hypergeometrische Verteilung etwas sagt?

Wenn die Aufgabenstellung selbst verlangt, dieses Mammutbaum-Diagramm aufzustellen, dann braucht man es nicht zwangsweise. Man könnte im Wissen um die zugrundeliegende Verteilung Zeit sparen und die Fehleranfälligkeit von Baumdiagrammen umgehen.

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Wenn die Aufgabenstellung selbst verlangt, dieses Mammutbaum-Diagramm aufzustellen, dann braucht man es nicht zwangsweise.

Doch. Wenn es Aufgabe ist das Baumdiagramm aufzuzeichnen dann muss man es machen. Ansonsten verschenkt man Punkte.

Man könnte im Wissen um die zugrundeliegende Verteilung Zeit sparen und die Fehleranfälligkeit von Baumdiagrammen umgehen.

Das ist richtig. Man kann die Wahrscheinlichkeiten auch ohne Baumdiagramm mit der passenden Verteilung ausrechnen.

Jetzt informiere dich mal über die hypergeometrische Verteilung und erkläre, wann man diese anwendet und erkläre, warum es die passende Verteilung ist.

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(a) Wenn die Aufgabenstellung selbst verlangt, dieses Mammutbaum-Diagramm aufzustellen, dann braucht man es [das Wissen um die Hypergeometrische Verteilung] nicht zwangsweise. Das Baumdiagramm natürlich.

(b)

Jetzt informiere dich mal über die hypergeometrische Verteilung und erkläre, wann man diese anwendet und erkläre, warum es die passende Verteilung ist.

Wenn es dir darum geht, dass die hypergeometrische Verteilung eine dichotome Grundgesamtheit erfordert, dann ist das richtig. Mir geht's aber um die multivariate Version der hypergeometrischen Verteilung. https://de.wikipedia.org/wiki/Verallgemeinerte_hypergeometrische_Verteilung

In der Schule heißt das "Fächermodell", herleitbar für Schüler über laplacesche und kombinatorische Überlegungen.

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Wichtig bei der hypergeometischen Verteilung ist, dass OHNE ZURÜCKLEGEN gezogen wird. Am Anfang der Aufgabe geht es aber explizit um eine Ziehung MIT ZURÜCKLEGEN.

Erst im weiteren Verlauf unter c) geht es um die Änderung, wenn man OHNE ZURÜCKLEGEN zieht.

D.h. es geht zu Anfang um die Multinomialverteilung oder Polynomialverteilung.

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Hast recht, die Multinomialverteilung (=Polynomialverteilung) ist sogar auch mit Schulmethoden herleitbar. Der Multinomialkoeffizient ist gerade das, was man verwendet, wenn es darum geht, alle Möglichkeiten Kombinationen von ANANAS zu erhalten.

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Nun kenne ich nicht das Niveau von Ukn4wn2937. Sollte es sich um Schulniveau handeln, rate ich nur dazu nicht in Formel zu denken. Auf Schulniveau kennt man, zumindest in Hamburg, auch nicht Begriffe wie Multinomialverteilung.

Hier rechnen wir einfach mit den beiden Pfadregeln für Baumdiagramme.

Sollte es sich um Studienniveau handeln, kann man diese Aufgabe sehr gut nehmen, um auch zusätzlich zu den Pfadregeln die Formel der Multinomialverteilung zu benutzen.

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Meine Intention war (wenn auch die hypergeometrische Verteilung wegen dem Ziehen MIT Zurücklegen verfehlt war), ein bisschen mehr Farbe in diese sonst düstere und triste Aufgabe zu bringen, die sehr mechanisch ist und die Aufgaben keine große Variation bieten - zudem noch 9 Stück. Wer hat darauf Lust.

Answer 1

a) Stellen Sie das Zufallsexperiment in einem Baumdiagramm dar.