Wahrscheinlichkeitsräume Urnenmodell ohne zurücklegen

Question

Aufgabe:

Zur Vorlesung Stochastik haben sich 112 Studierende angemeldet, die zufällig auf zwei Übungsgruppen verteilt werden. Die Übungsgruppen seien jeweils mit einer der Nummern 
0 und 1 gekennzeichnet. Wir betrachten folgende zwei Methoden, um die Studierenden auf
die Übungsgruppen zu verteilen:

• Münzwurfmethode. Jeder Studierende wirft eine faire {0, 1}-Münze. Die jeweilig geworfene Zahl entscheidet über die Übungsgruppe. Die Übungsgruppen müssen am Ende nicht gleich groß sein.
• Urnenmethode. Jeder Studierende zieht eine Kugel aus einer Urne mit 112 Kugeln, von denen jeweils 56 mit einer der Zahlen 0 und 1 beschriftet sind. Die Zahl auf der gezogenen Kugel bestimmt die Übungsgruppe. Die gezogenen Kugeln werden nicht zurückgelegt.

Unter den 112 Studierenden sind auch Anna und Otto. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
werden die Studierenden Anna und Otto derselben Übungsgruppe zugeteilt (i) nach der 
Münzwurfmethode, (ii) nach der Urnenmethode? Geben Sie hierbei geeignete Wahrschein- 
lichkeitsräume und die relevanten Ereignisse an.

Also (i) ist klar

A={w∈Ω : w={0,0} oder {1,1}}

Ω={0,1}^2

F=P(Ω)

P(A) = 1/4

bei (ii) hab ich irgenwie ein Problem das Ω zu bestimmen

A ist wie bei (i)

Ω={0,1} ?

F=P(Ω)

P(A) = 56/112*55/111 + 56/112*55/111 ≈ 0,496

Kann man das sigma auch durch eine ZV angeben? Oder wäre dies sogar der richtige Weg? Also

X_i = 0 oder 1

und P(A) = P( X_i +X_j = 0 oder 2)?

Answer 1

A={w∈Ω : w={0,0} oder {1,1}}

Es ist {0,0} = {0}, weil jedes Element der Menge nur ein mal in der Menge vorkommt.

Verwende A = {(0,0), (1,1)}. Das Passt dann auch besser zu Ω={0,1}².

F=P(Ω)

Dann ist F = 1.

bei (ii) hab ich irgenwie ein Problem das Ω zu bestimmen

Nummeriert man die Kugeln von 1 bis 112, dann kann man

        Ω_ii = {1, ..., 112}²  \ {(n,n) | n ∈ {1, ..., 112}}

verwenden. Die geraden Kugeln gehen in Gruppe 0, die ungeraden in Gruppe 1.

Dann wäre

        A_ii = {(n,m) ∈ Ω_ii | n ≡ m mod 2}.

Comments

Wieso ist P(Ω)=1 mit diesem P mein ich die Potenzmenge. Sorry für die Schreibweise.

Zu (ii) hab ich jetzt folgendes

Ω_ii ={{w_1, .... ,w_112 : w_i ∈ {0,1} i=1, ... , 112}

Und F ist die Potenzmenge von Ω_ii

A ={w∈Ω_ii : w_i =w_j i≠j i,j = 1, ... , 112}

P ist Binomialverteilt und man erhält dann

P(A) = ∑i = 2 bis 112 (0,5)^i * (0,5)^(112-i) = 1

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mit diesem P mein ich die Potenzmenge

Dann ist es natürlich nicht 1. Aber wozu wird F benötigt?

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Ω_ii ={{w_1, .... ,w_112 : w_i ∈ {0,1} i=1, ... , 112}

Etwas kürzer ausgefrückt waäre das

        Ω_ii = {0, 1}¹¹².

Dabei wird nicht berücksichtigt, dass es genau so viele 0-Kugeln wie 1-Kugeln gibt.

w_i =w_j i≠j i,j = 1, ... , 112

Also w_1 = w_2 (durch Wahl von i = 1 und j = 2) und w_2 = w_3 (durch Wahl von i = 2 und j = 3). Per Induktion und wegen Transitivität der Gleichheit besteht dann A aus genau zwei Ergebnissen:

        0, 0, ..., 0

        1, 1, ..., 1

Ich glaube nicht dass du das so gemeint hast.

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Lässt sich dann Ω_ii am besten so modellieren wie du es oben gemacht hast?

Ist denn wenigstens der Rest so weit richtig? Mich macht das irgendwie stutzig das dort 100% herauskommen

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Münzwurfmethode ist richtig.

Lässt sich dann Ω_ii am besten so modellieren

Ω_ii lässt sich nicht modellieren. Der Zufallsversuch lässt sich modellieren. Ω_ii ist das Modell, nicht das was modelliert wird.

am besten so ... wie du es oben gemacht hast

Am besten weiß ich nicht. Aber zumindest geeignet.

Ist denn wenigstens der Rest so weit richtig?

Ob A richtig ist, hängt von Ω ab.

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Alles klar. Schon mal danke für deine Hilfe. Wähle ich A wie oben, also ich nehme mir 2 zahlen und Vergleiche diese modulo 2. Dann ist dies doch binomialverteilt, da ich gucke ob ein bestimmtes Ereignis eintrifft oder nicht, also n = m mod 2. Ich habe also für die Verteilung (ich nenne es mal N, da n schon vergeben ist) P(x≥2) mit N=112 k= 2 und p =0,5 da wir ja mindestens 2 zahlen finden müssen für n=m mod 2.