Eine Folge \((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\) heißt beschränkt, wenn es ein \(K\in \mathbb{R}\) gibt, so dass \(|a_n|\leq K\). Wenn \((a_n)_n\) gegen \(a\) konvergiert für \(n\to \infty\), so gilt \(a_n \in U_1(a)\) für alle \(n>N\), wobei \(n\) eine bestimmte natürliche Zahl ist. Für diese Glieder gilt nun aber \(|a_n|<|a|+1\). Die Menge der anderen Folgenglieder ist endlich und somit ebenfalls beschränkt! Insgesamt gilt also \(|a_n|\leq \max \{|a_0|,...,|a_N|,|a|+1\}\) für alle \(n\in \mathbb{N}\). Die Folge ist also beschränkt.
Ein Beispiel liefert \(a_n:=\sqrt[n]{3^n+5^n}\). Diese konvergiert, da:$$\sqrt[n]{3^n+5^n}=\sqrt[n]{5^n\left(1+\left(\frac{3}{5}\right)^n\right)}=5\sqrt[n]{1+\left(\frac{3}{5}\right)^n}\overset{n\to \infty}\longrightarrow5$$
https://www.desmos.com/calculator/ohb6mlmc1n
Wie du auch am Graphen sehen kannst, ist die Folge nach unten hin durch \(5\) beschränkt.
