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Aufgabe:


Problem/Ansatz:

:)

Bin grade am lernen für die Mathe Prüfung und brauche eure Hilfe.

Es geht um die Beschränktheit konvergenter Folgen.

Hier steht ,, Jede konvergente Folge ist beschränkt‘‘

Dieses konvergent verwirrt mich weil sonst weiss ich wie ich zeigen kann ob einer Folge beschränkt ist aber halt dieses konvergent jetzt..

Kann mir das jemand anhand eines Beispiels zeigen?

Verstehe es nicht so ganz..

Danke

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Eine Folge \((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\) heißt beschränkt, wenn es ein \(K\in \mathbb{R}\) gibt, so dass \(|a_n|\leq K\). Wenn \((a_n)_n\) gegen \(a\) konvergiert für \(n\to \infty\), so gilt \(a_n \in U_1(a)\) für alle \(n>N\), wobei \(n\) eine bestimmte natürliche Zahl ist. Für diese Glieder gilt nun aber \(|a_n|<|a|+1\). Die Menge der anderen Folgenglieder ist endlich und somit ebenfalls beschränkt! Insgesamt gilt also \(|a_n|\leq \max \{|a_0|,...,|a_N|,|a|+1\}\) für alle \(n\in \mathbb{N}\). Die Folge ist also beschränkt.

Ein Beispiel liefert \(a_n:=\sqrt[n]{3^n+5^n}\). Diese konvergiert, da:$$\sqrt[n]{3^n+5^n}=\sqrt[n]{5^n\left(1+\left(\frac{3}{5}\right)^n\right)}=5\sqrt[n]{1+\left(\frac{3}{5}\right)^n}\overset{n\to \infty}\longrightarrow5$$

Wie du auch am Graphen sehen kannst, ist die Folge nach unten hin durch \(5\) beschränkt.

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