Untersuche eine Folge mit Wurzeln auf Beschränktheit

Question

Für (a_n) _n=1 ^unendlich

Ich untersuche die Folge (an)= \( \sqrt{n+5} \) -\( \sqrt{n+3} \) und meine Behauptung ist, dass s= \( \sqrt{6} \)-\( \sqrt{4} \) eine obere Schranke ist. Bei dem Beweis hatte ich aber Schwierigkeiten.

a_n - s ≤0

\( \sqrt{n+5} \) -\( \sqrt{n+3} \) - \( \sqrt{6} \) + \( \sqrt{4} \) ≤0

??

Comments

Wenn es dir ausschließlich um Beschränktheit geht, zeige durch Quadrieren, dass \(\sqrt{n+5}<1+\sqrt{n+3}\)  gilt.

Answer 1

Monoton fallend würde ja durch die Gültigkeit

der Ungleichung für alle n ausgedrückt:

a_n  ≥  a_n+1

<=>  √(n+5) - √(n+3) ≥ √(n+6) - √(n+4)

Dann der Tipp: Beide Seiten mit dem

positiven Term   √(n+5) + √(n+3) malnehmen

<=> ( √(n+5) - √(n+3) ) * (√(n+5) + √(n+3) )≥  (√(n+6) - √(n+4))*(√(n+5) + √(n+3))

Links 3. binomi. Formel

<=> n+5 - (n+3) ≥  (√(n+6) - √(n+4))*(√(n+5) + √(n+3))

<=>  2 ≥  (√(n+6) - √(n+4))*(√(n+5) +√(n+3))

Dann den gleichen Trick nochmal | *(  √(n+6) + √(n+4) )

<=> 2 *(  √(n+6) + √(n+4) ) ≥  2*(√(n+5) +√(n+3))

und weil √(n+6) ≥  √(n+5)  und (n+4) ≥  √(n+3)

dürfte das wohl passen.

Comments

Vielen Dank für die Antwort!

Wenn ich die obere Schranke beweisen möchte, muss ich nicht immer die Definition

a_n - s ≤ 0  benutzen?

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Wie kann man dann zeigen, dass an nach unten unbeschränkt ist?

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Wie kann man dann zeigen, dass an nach unten unbeschränkt ist?

Gar nicht. Die Differernz\( \sqrt{n+5}-\sqrt{n+3} \) ist immer positiv. Somit ist 0 eine untere Schranke.

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Gar nicht. Die Differernz\( \sqrt{n+5}-\sqrt{n+3} \) ist immer positiv. Somit ist 0 eine untere Schranke.

Achso okay.

0 ist auch der Grenzwert. Wie kann ich beweisen, dass die Folge konvergiert?

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Die Folge ist fallend und nach unten beschränkt. Fertig.

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Die Folge ist fallend und nach unten beschränkt. Fertig.

Brauche ich nicht zu zeigen, dass |a_n - g | < ε  gilt??

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Für die Konvergenz reicht:

Monoton fallend und nach unten beschränkt

ABER: Dass wirklich 0 der Grenzwert ist bekommst du besser

mit dem 2. Kommentar von abakus hin.

Answer 2

Zeige, dass (a_n) monoton fällt.

Das Erweitern mit \( \sqrt{n+5} \) +\( \sqrt{n+3} \) kann dabei hilfreich sein.

Comments

Wie kann man zeigen , dass a_n monoton fällt?

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Das Erweitern mit \( \sqrt{n+5} \) +\( \sqrt{n+3} \) kann dabei hilfreich sein.

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\( \sqrt{n+5} \) -\( \sqrt{n+3} \) mit \( \sqrt{n+5} \) +\( \sqrt{n+3} \) erweitert ergibt

\(\frac{2}{\sqrt{n+5}+ \sqrt{n+3}}\). Der Zähler ist konstant, der Nenner wird mit wachsendem n immer größer.