Zur uneigentlichen Konvergenz
Aus Harro Heusers Lehrbuch der Analysis:
"Im Falle \(a_n\to +\infty\) sagt man, \(+\infty\) sei der uneigentliche Grenzwert der Folge \((a_n)_n\)." (vgl. S. 183)
Betrachte z. B. \(a_n=n^2\). Es lässt sich kein \(\varepsilon\)-Schlauch finden, der fast alle Folgenglieder "umfasst".
Bemerkung:
Ich meine den Begriff schon im Zusammenhang mit oszillierenden Folgen gesehen, wo es zwei Häufungspunkte gibt. Beispielsweise \((-1)^n\).
Zum Majorantenkriterium:
Der Reihenbegriff - wie oftmals gelehrt - hat mich damals sehr verwirrt und mir hat es geholfen, als Folge von Teilsummen azusehen. Keinesfalls ist \(a_0+a_1+a_2+\cdots\) als eine "Summe von unendlichen Summanden" aufzufassen.
Das Majorantenkriterium lautet:
Sei \(\sum_{k=1}^{\infty}{a_k}\) eine Reihe. Wenn es eine konvergente Reihe \(\sum_{k=1}^{\infty}{c_k}\) mit \(|a_k|\leq c_k\) für alle \(k\in \mathbb{N}\) gibt, so konvergiert auch \(\sum_{k=1}^{\infty}{a_k}\)... (und zwar absolut!).
Beispiele (ausführlich) findest du hier:
https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Majorantenkriterium_und_Minorantenkriterium#Majorantenkriterium
