Flächen zwischen Kurven berechnen

Question

Hallo :) Was mir schon bekannt ist, ist, dass wenn man Flächen zwischen Kurven hat, diese einzeln berechnet und dann addiert.

Nun habe ich eine Fläche die "negativ" ist und eine die positiv ist.

z.B.. ich habe die Fkt. x^2+x-3 und x^3-2x^2

für den Intervall -1, 1 habe ich die Fläche -8 und für 1, 3 habe ich 4

wie soll ich die zusammenrechnen? -8+4 oder nehme ich an, dass -8 positiv ist, und berechne 8+4?

Danke :)

Answer 1

Fläche zwischen den Graphen von f(x) und g(x)

f(x) = x^3 - 2·x^2
g(x) = x^2 + x - 3

Differenzfunktion und Stammfunktion
d(x) = f(x) - g(x) = (x^3 - 2·x^2) - (x^2 + x - 3) = x^3 - 3·x^2 - x + 3
D(x) = 1/4·x^4 - x^3 - 1/2·x^2 + 3·x

Nullstellen d(x) = 0
d(x) = x^3 - 3·x^2 - x + 3 = x^2·(x - 3) - 1·(x - 3) = (x^2 - 1)·(x - 3) = (x + 1)·(x - 1)·(x - 3) = 0 → x = -1 ∨ x = 1 ∨ x = 3

Integrale (mit gerichtetem Flächeninhalt)
A1 = ∫ (-1 bis 1) d(x) dx = D(1) - D(-1) = 7/4 - (-9/4) = 4
A2 = ∫ (1 bis 3) d(x) dx = D(3) - D(1) = (-9/4) - 7/4 = -4

Gesamtfläche
A = |A1| + |A2| = 4 + 4 = 8

Answer 2

wie soll ich die zusammenrechnen?

Addiere die Beträge.

oder nehme ich an, dass -8 positiv ist

Das solltest du nicht tun. Wer ein wenig Ahnung von Mathematik hat, würde dir sofort widersprechen und du hättest große Schwierigkeiten, deinen Standpunkt zu rechtfertigen.

für den Intervall -1, 1 habe ich die Fläche -8

Das ist kein Flächeninhalt. Flächeninhalte sind nicht negativ.

Das Integral von (x²+x-3) - (x³-2x²) von -1 bis 1 ist -4. Der Flächeninhalt zwischen den Graphen auf diesem Intervall ist |-4| = 4.