Bestimmen sie die Grenzwerte der Folgen und zeigen Sie, dass die Folge beschränkt und streng monoton ist.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen \( \left(a_{n}\right) \)n∈N,  \( \left(b_{n}\right) \)n∈N  ,  \( \left(c_{n}\right) \)n∈N \[ a_{n}=\frac{2 n+1}{n^{2}+1} \quad b_{n}=\frac{\left[1+(-1)^{n}\right] n+1}{n^{2}+1} \quad c_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2 n+1} \] Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(d_{n}\right)_{n \geq 2} \) mit \( \quad d_{n}=\frac{n-1}{n+2} \quad \) beschränkt und streng monoton ist.

Problem/Ansatz:

Kann einer mir die Aufgabe mittels Rechen Weg erklären?

Answer 1

Aloha :)

$$a_n=\frac{2n+1}{n^2+1}=\frac{2+\frac{1}{n}}{n+\frac{1}{n}}\to\frac{2}{\infty}\to0$$$$b_n=\frac{n+1}{n^2+1}+(-1)^n\frac{n+1}{n^2+1}=\frac{1+\frac{1}{n}}{n+\frac{1}{n}}+(-1)^n\frac{1+\frac{1}{n}}{n+\frac{1}{n}}\to\left(\frac{1}{\infty}\;;\;0\right)\to0$$$$c_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right]^2\to1\cdot e^2=e^2$$

$$d_n=\frac{n-1}{n+2}=\frac{n+2-3}{n+2}=1-\frac{3}{n+2}<1$$\(d_n\) ist also nach oben beschränkt.$$d_{n+1}-d_n=-\frac{3}{n+3}+\frac{3}{n+2}=\frac{-3(n+2)+3(n+3)}{(n+3)(n+2)}=\frac{3}{(n+3)(n+2)}>0$$\(\Rightarrow\;\;d_{n+1}>d_n\), das heißt: \(d_n\) ist streng monoton wachsend.$$0=d_1\le d_n<1$$\(d_n\) ist nach unten durch \(0\) und nach oben durch \(1\) beschränkt.

Answer 2

Hallo

 1. und 2. durch n^2 kürzen, 3, mit der Def von e vergleichen .

Gruß lul

Answer 3

1. Aufgabe:

Wenn n -->∞ geht, klammere im Zähler und Nenner n^2

(höchste Potenz )aus und kürze

Lösung: = 0/1 =0