Folgen, streng monoton steigend, beschränkt?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Folge (a_n)_n∈ℕ mit

a_n = \( \frac{n}{n+1} \)

a) Zeigen Sie, dass die Folge streng monoton steigend ist, d.h. dass a_n+1 > a_n für alle n∈ℕ gilt
b) Ist die Folge beschränkt? Begründen Sie Ihre Antwort.

Problem/Ansatz:

Ich habe Probleme beim Lösen der Aufgabe, wäre sehr dankbar für eine Erklärung

Answer 1

Zu a) n2+2n+1>n2+2n

       (n+1)(n+1)>n(n+2)   |:(n+1)

       n+1>(n+2)·\( \frac{n}{n+1} \)     |:(n+2)

       \( \frac{n+1}{n+2} \)>\( \frac{n}{n+1} \)

also: a_n+1 > a_n  

b) Untere grenze 0, weil \( \lim\limits_{n\to0} \)\( \frac{n}{n+1} \)=0.

 Obere Grenze 1, weil \( \lim\limits_{n\to\infty} \)\( \frac{n}{n+1} \)=1.

Answer 2

a) Bilde die Differenz zweier aufeinander folgender Folgenglieder.

(n+1)/(n+2) - n/(n+1)

= [(n+1)^2-n(n+2)]/[(n+2)(n+1)]

=1/(n+2)(n+1)

>0

b) 1/2≤n/(n+1)<1

:-)