Zeigen Sie, dass (1-3n²)/(4n²+2) , n∈ℕ streng monoton fallend und beschränkt ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass \( \frac{1-3n²}{4n²+2} \) , n∈ℕ streng monoton fallend und beschränkt ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe mich zunächst an der Monotonie versucht und versucht zu zeigen, dass a_n+1 - a_n kleiner ist als 0.

Nach ewigem Umstellen, erhalte ich:

\( \frac{-3n^4-3n²+5n+7}{2n^4+32n³+16n²+4n+6} \) Ich kann nun für die Bestandteile erklären, warum dieser Bruch kleiner als 0 ist aber könnte das vielleicht jemand für mich nachrechnen und mir sagen, ob das richtig ist oder ob ich einen viel zu komplizierten Weg gegangen bin und das Ganze auch einfacher geht?

Außerdem weiß ich nicht, wie ich hier noch an die Beschräktheit rangehen soll.

Comments

Die Umformung \(\,\dfrac{1-3n^2}{4n^2+2}=\dfrac5{8n^2+4}-\dfrac34\,\) macht's vielleicht etwas einfacher.

Answer 1

Den limes kann man ablesen (Kürzen mit n^2). lim = -3/4

Fallend heißt f '(n) < 0

Für n1<n2 -> f(n1) > f(n2)

Comments

Nein, das geht so nicht, Du arbeitest mit Ableitungen (und setzt damit voraus, dass die Funktion an den bewussten Stellen differenzierbar ist). Wie willst du eine nur an isolierten Stellen definierte "Funktion" ableiten?