Zeigen Sie, dass a_n von unten beschränkt und monoton fallend ist

Question

Aufgabe:

Sei d ∈ ℝ_>0 und a_n eine Folge mit a₁ = 1 und a_n+1 = 1/2*(a_n+(d/a_n))
Zeigen Sie, dass a_n
1. für alle n ≥ 2 durch √d von unten beschränkt wird und
2. monoton fallend ist.

Problem/Ansatz:

Habe so meine Probleme hier. Ich denke mal, dass man das über Induktion machen muss, aber habe da das Problem, dass man bei dem Teil d/a_n, a_n nicht einfach durch die IV ersetzen darf, weil ja mit dem Kehrwert gerechnet wird, für den genau das Gegenteil der IV gilt, oder? Also bspw. wenn a_n+1≤an ist, dann ist d/a_n+1 ≥ d/a_n. Wäre dankbar für Hilfe

Comments

Zeige per Induktion, dass alle Folgeglieder positiv sind. Den Rest zeige direkt:$$(1)\quad a_{n+1}^2-d=\frac14\left(a_n+\frac d{a_n}\right)^2-d=\frac14\left(a_n-\frac d{a_n}\right)^2\ge0.$$$$(2)\quad a_n-a_{n+1}=a_n-\frac12\left(a_n+\frac d{a_n}\right)=\frac12\left(a_n-\frac d{a_n}\right)=\frac{a_n^2-d}{2a_n}\ge0.$$

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Ist die 2 damit wirklich gezeigt? Wie sieht man dem Term denn an, dass er ≥0 ist? Also ja er ist es, aber wenn man einfach nur draufschaut, dann sieht man das ja nicht, oder? Bei der 1 sieht man es ja z.b. direkt.

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Der Zähler in (2) ist nach (1) größer oder gleich Null. Nach der Anfangsbemerkung gilt dies auch für den Nenner und damit für den gesamten Bruch.

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stimmt, hatte ich nicht drauf geachtet, dass das im zähler ja bewiesen wurde in (1) :)

danke dir für die antwort! würde dir eigentlich gerne die beste antwort geben, aber du hast leider nur kommentiert :( kannst du das in die antworten verschieben?

Answer 1

1.

a(n+1) = 1/2·(a(n) + (d / a(n))) ≥ √d → a(n) ≥ √d

2.

a(n+1) = 1/2·(a(n) + (d / a(n))) ≤ a(n) --> a(n) ≥ √d

Comments

1.

Die Frage, die ich mir stelle, darf man das ganze dann so machen:

a(n+1) = 1/2·(a(n) + (d / a(n))) ≥(IV) 1/2·(√d + (d / √d)) = ((√d)² +d) / (2√d)= (2d) / (2√d) = √d, oder ist das nicht falsch, da das eine a(n) im Nenner steht?

Auch beim Induktionsanfang komme ich nicht weiter.

a(2)= 1/2·(a(1) + (d / a(1))) = 1/2·(1 + d) = ... ≥ √d

2.

Und das verstehe ich gar nicht. Muss man nicht a(n+1) ≤ a(n) benutzen im IS?

Also dann a(n+2) = 1/2·(a(n+1) + (d / a(n+1))) ≤(IV) 1/2·(a(n) + (d / a(n))) =a(n+1)