Zeigen Sie mit vollständiger Induktion das a_n monoton fallend und von unten beschränkt ist

Question

Aufgabe:

a₀ = 2, a_n = 2 -\( \frac{1}{a_n} \)

1. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass a_n monoton fallend ist.

2. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass a_n nach unten beschränkt ist.

3. Bestimmen Sie den Grenzwert.

Ansatz:

1.

IA:

a₀ = 2 a₁ = \( \frac{3}{2} \)

\( \frac{3}{2} \) < 2 ⇒ a₁ < a₀

_IV:

a_n < a_n-1 für alle n ∈ ℕ

IS:

Zu zeigen: a_n+1 < a_n für alle n ∈ ℕ

a_n+2 = 2 - \( \frac{1}{a_{n+1}} \)

a_n+1 = 2 - \( \frac{1}{a_n} \)

2-\( \frac{1}{a_{n+1}} \) < 2-\( \frac{1}{a_n} \)

⇔ \( \frac{1}{a_{n+1}} \) < \( \frac{1}{a_n} \)

⇔a_n+1 < a_n

Stimmt das soweit?

Bei den anderen Aufgaben komm ich nicht weiter, kann mir da bitte jemand weiterhelfen?

Comments

Ist Induktion zwingend vorgeschrieben? Der erste Teil ließe sich mithilfe des zweiten auch direkt zeigen:
\(a_n-a_{n+1}=\frac1{a_n}(a_n-1)^2\ge0\), falls \(a_n>0\).

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Ja, leider ist Induktion vorgeschrieben

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Dann vielleicht so:
\(a_n-a_{n+1}=\left(2-\dfrac1{a_{n-1}}\right)-\left(2-\dfrac1{a_n}\right)=\dfrac{a_{n-1}-a_n}{a_{n-1}\cdot a_n}>0\), falls \(a_n>0\) und \(a_0>a_1\).

Answer 1

Hallo,

in der vorletzten Zeile fehlen Minuszeichen und beim Übergang zur letzten Zeile müsste das Kleiner-Zeichen umgedreht werden, bzw. durch die Minuszeichen zweimal.

Außerdem hast du die IV gar nicht benutzt.

1)

\(a_0=2\quad;\quad a_{n+1} = 2 - \frac{1}{a_n} \)

...

I.V.  \(a_n<a_{n-1}\)

bzw. \(a_{n-1}-a_{n}>0\)

I.Schritt

\(a_n-a_{n+1}\\=( 2 - \dfrac{1}{a_{n-1}} )- (2 - \dfrac{1}{a_n})\\= \dfrac{1}{a_{n}}-\dfrac{1}{a_{n-1}}\\=\dfrac{a_{n-1}-a_n}{a_n\cdot a_{n-1}}\)

Nun müsste noch gezeigt werden, dass dieser Term immer positiv ist. Da aus 2) folgt, dass alle Folgenwerte größer als 1 sind, ist die Bedingung erfüllt.

2)

Es soll jetzt gezeigt werden, dass alle Folgenwerte größer als 1 sind.

I.A.

\(a_0=2\) und \(a_1=1,5\) erfüllen die Bedingung.

I.V.

Sei \(a_n>1\). Dann gilt \(1/a_n<1\) und \(-1/a_n>-1\)

I.Schritt

\(a_{n+1}=2-1/a_n>2-1=1 \)

Damit ist die Folge nach unten beschränkt.

Comments

wie würde es denn dann richtig aussehen mit benutzen der IV?

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Ich habe meine Antwort gerade ergänzt und dann gesehen, dass Arsinoe die gleiche Idee hatte.

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Ich habe noch weiter gemacht.

:-)

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Alles klar, vielen Dank

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Mit fällt gerade auf, dass

\(a_n=\frac{n+2}{n+1}\}

gilt. Damit lässt sich die Aufgabe viel leichter lösen.

:-)