Aussage zeigen: Polynom Homomorphismus, wenn .. gilt

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie die folgende Aussage für den Körper (ℤ₂, +, · ) aus Satz 2.4.11: Ein Polynom

p(x) = a_n * xⁿ + a_{n-1 *} x^n-1  + ... + a_{2 *} x² + a_{1 *} x + a₀  ∈ ℤ₂ [x] 

definiert genau dann einen Homomorphismus p: ℤ₂ -> ℤ₂ von Körpern, wenn a_n + a_n-1 + ... +a₂ +a₁ ≡ 1 mod 2 und a₀ = 0 gilt.

Tipp: Was ist a²  für a ∈ ℤ₂ ? Nutzen Sie diese Überlegung, um den Grad des Polynoms p zu verringern.

(-> Satz 2.4.11: Der Ring(ℤ_n, + ,_*) ist genau dann ein Körper, wenn n prim ist.)

Wie soll ich das lösen?

Answer 1

Wenn p ein Hom ist, muss p(0)=0 gelten, also a_0 kongruent 0 mod 2'

Ansonsten gibt es nur noch das Element 1 in diesem Körper. Das ist das neutrale Element der Multiplikation. Also p(1)=1.

Wenn du das einsetzt, hast du den ersten Teil der Behauptung.