Aufgabe:
Text erkannt:
1. (i) Sei \( \mathbb{Z}_{g} \) die Menge der geraden ganzen Zahlen. Überprüfen Sie, ob \( \left(\mathbb{Z}_{g},+, \cdot\right) \) ein Unterring von \( (\mathbb{Z},+, \cdot) \) ist.
(ii) Ist die Abbildung
\( \phi(k)=\left\{\begin{array}{ll} k & \text { falls } k \text { gerade ist } \\ k-1 & \text { falls } k \text { ungerade ist }, \end{array}\right. \)
ein Ring-Homomorphismus von \( (\mathbb{Z},+, \cdot) \) nach \( \left(\mathbb{Z}_{g},+, \cdot\right) \) ?
Problem/Ansatz:
Text erkannt:
(1) (i) Sei Z gie tlenge der peraden garuen Zahlen uberpriefen fie, of \( \left(\mathbb{Z}_{,},+,\right) \)ein untering von \( (\mathbb{Z},+, i) \) ste
Angenemen \( \mathbb{Z}_{g} \) at venterring.
Die geraden gauren Zallem sind beriglich addition und multiplikation abpeschlossen
Awch pelten das Arsoriative. und Distributiogesetz. beriplich additions und multydlixation
za zigen: \( \forall a, b \in \mathbb{Z}_{g} \Rightarrow a-b \in \mathbb{Z g}_{g} \)
\( b+(a-b)=b+a-b=a \in \mathbb{Z} g \)
(ii) Ist die Abbildung
\( \varphi(k)=\left\{\begin{array}{ll} k & \text { falls } k \text { ferade ist } \\ k-1 & \text { falls } k \text { unperade ist, } \end{array}\right. \)
ein Ring - Momomorphismus von \( (\mathbb{Z},+, \cdot) \) nach \( \left(\mathbb{Z}_{g},+, \cdot\right) \) ?
Ring-Momomarshismus: \( f(x+y)=f(x)+f(y) \quad \varphi(a+b)=\varphi(a)+4(b) \)
\( f(x y)=f(x) f(y) \quad \varphi(a b)=\varphi(a) \varphi(b) \)
Ia! \( \quad k \) - gerade
\( \begin{array}{l} f(R+k)=f(k)+f(k) \\ f(2 k)=f(k)+f(k) \end{array} \)
\( \begin{array}{l} 2 k=k+R \\ 2 k=2 k \end{array} \)
Nein!
\( \begin{array}{l} k \text {-ungerade } \\ f(k-1) \cdot(k-1))=f(k-1) \cdot f(k-1) \\ f\left(k^{2}-2 k+1\right)=f(k-\operatorname{cr} f(k-2)(k-1) \cdot(k-1) \\ f(k(k-2)+1)=f(k-1) \text { ff }(k-1)(k-1)^{2} \\ k-1=k(k-2)+1 \end{array} \)
\( k-1=k-1 \) - ungerade \( \Rightarrow \) falsch
Hey alle!
Hilfe!
Könntet ihr bitte insgesamt alles prüfen, aber das genaue Problem ist in (ii).
Ich habe bewiesen, aber weiß nicht, ob ich dass richtig geschrieben habe.
z.B. ich habe so geschrieben:
f(2k) = 2k, weil die geraden ganzen Zahlen sind bzgl. Addition und Multiplikation abgeschlossen.
bzw.
f(k-1) = k-1, weil die ganzen Zahlen sind bzgl. Addition und Multiplikation abgeschlossen.
Also, der Sinn ist, dass ich als "k" und "2k" alle gerade Zahlen bezeichne;
bzw.
als "k-1" oder "k(k-2)+1" alle ungerade Zahlen bezeichne.
Ist das richtig oder zu dumm?
Könnten alle Leute, die Mathe an der Uni studieren, mit der Schreibweise helfen, bitte.
LG
