Zeigen Sie, dass für die Gamma-Funktion gilt

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für die Gamma-Funktion gilt
\( \Gamma(x) x=\Gamma(x+1), \quad x \in(0, \infty) . \)

Problem/Ansatz:

Gamma-Funktion:

Die Funktion \( \Gamma:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( \Gamma(x):=\int \limits_{0}^{\infty} e^{-t} t^{x-1} d t \)

Answer 1

$$ \Gamma(x+1) = \int_0^\infty t^x e^{-t} dt $$ partiell integrieren gibt

$$ \Gamma(x+1) = -t^x e^{-t} \big|_0^\infty + x \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} dt = x \Gamma(x) $$