Wie kommt man auf die Gamma Funktion?

Question

ich versuche diesen Ausdruck zu erhalten und habe das ganze mal mit dem Integralrechner probiert:

$$\lim\limits_{v\downarrow 0}\int_{0}^{\infty} e^{x(v-bx^{a-1})}=\frac{ \Gamma\frac{1}{a}}{ab^{\frac{1}{a}}}$$

Dieser formt jedoch den folgenden Ausdruck zu einer Gamma Funktion um und ich verstehe nicht so ganz warum, denn dieser Ausdruck sieht doch komplett anders aus, wie kommt man da auf die Gammafunktion?

\( \int \mathrm{e}^{-u^{a}} \mathrm{d} u \)

VG

Comments

Hallo,

v geht ja gegen 0. Führe im verbleibenden Integral die Substitution \(t=bx^a\) durch.

Gruß

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vielen Dank dass du nochmal geschrieben hast. Ich meinte allerdings, wie man von $$\int e^{-u^a}du$$ auf $$\frac{ \Gamma\frac{1}{a}}{ab^{\frac{1}{a}}}$$ kommt, dass $$\int e^{-u^a}du$$ war ein Zwischenschritt, den ich nicht verstanden habe. Mir ist unklar inwiefern, dass eine Darstellung der Gamma Funktion ist, da der Integralrechner dass einfach so ohne Erklärung zu einer Darstellung mit Gamma-Funktion umgeformt hat.

Aber ich merke gerade auch selber, dass ich das sehr verwirrend und unverständlich geschrieben habe, tut mir leid

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Hallo,

jetzt bin ich mir nicht mehr klar. Jedenfalls kommt man von dem ersten Integral in Deinem Kommentar nicht zu dem Ausdruck mit der Gamma-Funktion, denn diese enthält die Variable b, die im ersten Integral nicht vorkommt. Jedenfalls wäre für dieses Integral auch wieder t=u^a die Substitution.

Gruß

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danke für dein neues Kommentar. Ich denke es ist einfacher mit einem Bild. Ich verstehe nicht so ganz, inwiefern der obere Ausdruck einer unvollständigen Gammafunktion entspricht.

Text erkannt:

$$ \int \mathrm{e}^{-u^{a}} \mathrm{d} u $$
Dies ist ein spezielles Integral (unvollständige Gammafunktion):
$$ =-\frac{\Gamma\left(\frac{1}{a}, u^{a}\right)}{a} $$