die Gamma-Funktion für alle natürlichen Zahlen k aus N

Question

Ziel der Aufgabe ist es, die sogenannte Gamma-Funktion Γ: (0,∞)→ℝ definiert durch(k+1)$$ \Gamma (k+1)\quad :=\quad \lim _{ y\rightarrow \infty  }{ \int _{ 0 }^{ y }{ { x }^{ k }{ e }^{ -x }dx }  } (k>-1) $$für alle natürlichen Zahlen k ∈ ℕ₀ zu berechnen.

(i) Ermittle induktiv eine integralfreie Darstellung für das unbestimmte Integral$$ \int { { x }^{ k }{ e }^{ -x } } dx $$

(ii) Berechne mit dem Ergebnis aus (i) den Wert Γ (k+1) für alle k ∈ ℕ₀

Answer 1

Du sollst da mit partieller Integration auf $$\int x^ke^{-x}\,dx=k\int x^{k-1}e^{-x}\,dx-x^ke^{-x}$$ kommen und daraus $$\int x^ke^{-x}\,dx=-e^{-x}(x^k+kx^{k-1}+k(k-1)x^{k-2}+\cdots+k!)$$ ableiten. Bisschen was musst Du schon noch selber machen.