Berechnen Sie die Bogenlänge des Parabelbogens \gamma:[0, \sinh (1)] → ℝ: t \mapsto(t, \frac{t^{2}}{2}) .

Question

(a) Berechnen Sie die Bogenlänge des Parabelbogens \( \gamma:[0, \sinh (1)] \rightarrow \mathbb{R}: t \mapsto\left(t, \frac{t^{2}}{2}\right) \). Hinweis: Benutzen Sie die Substitution \( t=\sinh (u) \), mit \( \sinh (u):=\frac{\mathrm{e}^{4}-\mathrm{e}^{-u}}{2} \).

Könnte mir jemand in ganzen Schritten zeigen, wie man die bogenlänge dieses integrals ausrechnet? Wäre sehr dankbar!

Comments

Benutzen Sie die Substitution \( t=\sinh (u) \),

Wie sieht denn unter Verwendung dieser Substitution der Term t²/2 aus?

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(Sinh(u))²/2 ? :)

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mit \( \sinh (u):=\frac{\mathrm{e}^{u}-\mathrm{e}^{-u}}{2} \).

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\( \frac{-2e^-u × e^u + e^{u^2} + e^{-u^2}}{2} \)    ?

Mein bauchgefühl sagt, mir dass es falsch ist, aber ja :D

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Es sollte \( \gamma:[0, \sinh (1)] \rightarrow \mathbb{R}^2: t \mapsto\left(t, \frac{t^{2}}{2}\right) \) heißen, oder? Also \(\mathbb{R}^2\) statt \(\mathbb{R}\)?

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Ja, genau, stimmt :D mein Fehler!

Answer 1

als erstes berechnest du die Ableitung komponentenweise von \(\gamma\):

\(\dot{\gamma}(t) = \begin{pmatrix} 1 \\ t \end{pmatrix}\)

und dann die Länge

\(|\dot{\gamma}(t)| = \sqrt{1^2 + t^2} = \sqrt{1 + t^2} \).

Nun kannst du das Integral für die Bogenlänge aufstellen:

\(\int\limits_{0}^{\sinh(1)}|\dot{\gamma}(t)| \ dt \).

Wende jetzt die im Hinweis gegebene Substitution an und denke bei der weiteren Vereinfachung an die Beziehung \(\sinh^2(u) + 1 = \cosh^2(u)\).

Versuch es erstmal selber, das Integral zu lösen. Sollte es dann noch Schwierigkeiten geben, bitte deine bisherige Lösung reinstellen, sodass wir dir dann auch mit effektiven Hinweisen helfen können.

Lg

Comments

Perfekt, danke! Ich versuche mich nachher dann an die Aufgabe und melde mich, wenn es Probleme geben sollte. Danke dir vielmals!

Answer 2

Hallo,

In der Lösung muß noch eine Resubstitution durchgeführt werden :

t= sinh(u)

u=Arsinh(t)

dann Einsetzen der Grenzen

Comments

Dankeschön für die musterlösung