Randwertproblem und analytische Lösung

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Wir betrachten das Randwertproblem
$\begin{aligned} \frac{d^{2} u(x)}{d x^{2}} &=\sin (4 x)-\sin (x), \quad x \in(0, \pi), \\ u(0) &=u(\pi)=0 . \end{aligned}$
(i) Berechnen Sie die analytische Lösung $u$ von (1).
Betrachten Sie nun die Finite-Differenzen-Methode.
Finite-Differenzen-Methode. Sei $[a, b]$ ein Intervall und sei $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ in $(a, b)$ hinreichend glatt. Ferner sei $h>0$ eine Schrittweite.
Die ersten zwei Ableitungen von $f$ können über
$f^{\prime}(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
und
$f^{\prime \prime}(x) \approx \frac{f(x-h)-2 f(x)+f(x+h)}{h^{2}}$
approximiert werden.

Problem/Ansatz:

Kann mir wer erklären wie ich es hinbekomme?

Answer 1

Die homogene Lösung ist $$u_H(x) = Ax + B$$ und die inhomogene Lösung lautet $$u_I(x) = -\frac{1}{16} \sin(4x) + \sin(x)$$

Also ist die allg. Lösung

$$u(x) = u_H(x) + u_I(x) = -\frac{1}{16} \sin(4x) + \sin(x) + Ax + B$$

Aus den Anfangsbedingungen folgt $B = 0$ und $A = 0$