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Aufgabe:

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Wir betrachten das Randwertproblem
d2u(x)dx2=sin(4x)sin(x),x(0,π),u(0)=u(π)=0. \begin{aligned} \frac{d^{2} u(x)}{d x^{2}} &=\sin (4 x)-\sin (x), \quad x \in(0, \pi), \\ u(0) &=u(\pi)=0 . \end{aligned}
(i) Berechnen Sie die analytische Lösung u u von (1).
Betrachten Sie nun die Finite-Differenzen-Methode.
Finite-Differenzen-Methode. Sei [a,b] [a, b] ein Intervall und sei f : [a,b]R f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} in (a,b) (a, b) hinreichend glatt. Ferner sei h>0 h>0 eine Schrittweite.
Die ersten zwei Ableitungen von f f können über
f(x)f(x+h)f(x)h f^{\prime}(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
und
f(x)f(xh)2f(x)+f(x+h)h2 f^{\prime \prime}(x) \approx \frac{f(x-h)-2 f(x)+f(x+h)}{h^{2}}
approximiert werden.



Problem/Ansatz:

Kann mir wer erklären wie ich es hinbekomme?

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Die homogene Lösung ist uH(x)=Ax+B u_H(x) = Ax + B und die inhomogene Lösung lautet uI(x)=116sin(4x)+sin(x) u_I(x) = -\frac{1}{16} \sin(4x) + \sin(x)

Also ist die allg. Lösung

u(x)=uH(x)+uI(x)=116sin(4x)+sin(x)+Ax+B u(x) = u_H(x) + u_I(x) = -\frac{1}{16} \sin(4x) + \sin(x) + Ax + B

Aus den Anfangsbedingungen folgt B=0 B = 0 und A=0 A = 0

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