ist das Randwertproblem eindeutig lösbar?

Question

Aufgabe: ist das Randwertproblem eindeutig lösbar?

(1)

y''' - 4y'' + 3y' = 0

y(0) = y(1), y'(0) = -2, y(1) = e(1-e²)

(2)

y''' - 4y'' + 5y' -2y = 0

y(0) = 1, y'(0) = 1, y(1) = 1

Hinweis: Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms der Differentialgleichung sind λ1/2= 1, λ3= 2

Danke vorab!!

Comments

Hallo

warum suchst du nicht einfach eine(oder mehrere) Lösungen ?

lul

Answer 1

Hallo,

1) y''' - 4y'' + 3y' = 0 , Ansatz y= e^kx . 3 Mal ableiten und in die DGL einsetzen

Charakt. Gleichung:

k^3 -4 k^2+3k=0

k(k^2 -4 k+3) =0 ->k₁=0 ->y1=C₁

k^2 -4 k+3=0

k_2,3= 2 ±√(4-3)

k₂= 1 → y₂=C₂ e^x

k₃= 3 ------>y₃= C₃ e^(3x)

y=y₁+y₂+y₃

\( y(x)=c_{1}+c_{2} e^{x}+c_{3} e^{3 x} \)

dann noch die AWB einsetzen:

y(0) = y(1), y'(0) = -2, y(1) = e(1-e^-2)

Ich habe erhalten:

\( C_{1}=-\frac{e^{5}+e^{4}-3 e^{3}-3 e^{2}}{(-1+e)(2+e)} \)

\( C_{2}=-\frac{2\left(1+e^{2}+e\right)}{(-1+e)(2+e)} \)
\( C_{3}=\frac{2}{(-1+e)(2+e)} \)

-----------------------------------------------------------------------------------

y''' - 4y'' + 5y' -2y = 0

y(0) = 1, y'(0) = 1, y(1) = 1

Hinweis: Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms der Differentialgleichung sind λ1/2= 1, λ3= 2

-------->

\( y(x)=C_{1} e^{x}+C_{2} e^{x} x+C_{3} e^{2 x} \)

\( y'(x)=C_{1} e^{x}+C_{2} (e^{x}x +e^x) +2 C_{3} e^{2 x} \)

Ich habe erhalten:

\( \mathcal{C}_{1}=-\frac{1-e^{2}+e}{e(-2+e)} \)
\( \mathcal{C}_{2}=-\frac{1-e}{e(-2+e)} \)
\( \mathcal{C}_{3}=-\frac{-1+e}{e(-2+e)} \)

Comments

Hallo Grosserloewe,

hier nochmal eine Rückfrage. Ich komm immer auf andere Werte für C1, C2, C3.

Ich habe raus:

C₁ = 1 - \( \frac{1+e}{e(e-2)} \)

C₂ = - \( \frac{-1-e}{e(e-2)} \)

C₃ = - \( \frac{1+e}{e(e-2)} \)

Wie kommst du insbesondere auf die e² im Zähler bei C₁ bzw. ziehst die 1 in den Zähler?

---

Ich hab's: Die 1 mit e(e-2) erweitern:

C1 = − \( \frac{-1-e2+e}{e(e-2)} \)