Volumen von Rotationskörpern berechnen

Question

Aufgabe:

Als Kepler die Vorbereitungen für seine zweite Hochzeit traf, bestellte er eine Reihe von Weinfässern. Der Verkäufer maß trotz unterschiedlicher Fassformen immer mit der gleichen Methode. Kepler erkannte auf den ersten Blick die Fehlerhaftigkeit dieser Berechnungen. Er suchte nach einer besseren Lösung dieses Problems und fand diese innerhalb von drei Tagen für das österreichische Weinfass.“ 1 1. Beschreibe den Zusammenhang zwischen obiger Geschichte und der Berechnung des Volumens von Rotationskörpern.

Beschreibe den Zusammenhang zwischen obiger Geschichte und der Berechnung des Volumens von Rotationskörpern.

Wisst ihr wie ich hierbei vorgehen kann, wäre mega nett <3

Answer 1

Kepler hat die nach ihm benannte " Keplersche Faßregel "
zur näherungweise Berechnung eines Faßvolumens
gefunden.
Die Integralrechnung bei Rotationskörperen ist besser.
Im Internet findest du sicherlich genaueres zu
" Keplersche Faßregel ".

Comments

Also ich weiß, dass es dazu formeln und etc gibt, aber ich weiß nicht wie genau ich hier bei vorgehen soll, es ist keine Fnktion oder ähnliches gegeben, sondern ich muss den zusammenhang zwischen der obigen Geschichte und und der Berechnung des Volumens von Rotationskörpern herstellen... Ich weiß irgendwie was gemeint ist aber zugleich auch nicht... versteht ihr wie ich das meine?

---

Im Internet unter
Keplersche Faßregel
schauen.
Dort gibt es jede Menge Hinweise zu
Keplersche Faßregel, Simpsonregel und Integral
rechnung.

---

Am Besten du rechnest einmal ein Faß
nach der KeplFaßregel und Rotationskörper
selbst durch,
Höhe Faß = 1 m
Durchmesser in der Mitte 60 cm
Durchmesser am Rand 40 cm

---

Sry, dass ich dumme fragen stelle aber ich habe ja keinen Integral sowie das hier erklärt wird  

Text erkannt:

\( \int \limits_{a}^{b} f(x) d x=\overbrace{\text { ungefahr! }} \)

---

Schau dir einmal die Faßskizze von Roland.
Das obere ist die Funktionskurve
Es wird eine Parabel angenommen
f ( x ) = a * x^2 + b * x + c
Höhe Faß = 1 m
Durchmesser in der Mitte 60 cm
Durchmesser am Rand 40 cm
Nach einpassung in ein geeignetes
Koordinatensystem ergibt sich
( x | y )
( 0 | 30 )
( 50 | 20 )
( -50 | 20 )
Einsetzen
f ( 0 ) = a * 0^2 + b * 0 + c = 30  => c = 30
f ( 50 ) = a * (50)^2 + b * 50 + 30 = 20
f ( -50 ) = a * (-50)^2 + b * (-50) + 30 = 20

2 Gleichungen mit 2 Unbekannten

a * (50)^2 + b * 50 + 30 = 20
a * (-50)^2 + b * (-50) + 30 = 20 | abziehen
----------------------------------------
b * 50 + b * 50 = 0
b = 0

a * (50)^2 + 0 * 50 + 30 = 20
2500 * a = -10
a = - 10/2500 = -1/250

f ( x ) = -1/250 * x^2 + 30

Jetzt hast du eine Funktion.

---

ich bin leider zu dumm, um all diese formeln und dinge irgendwie zu verstehen
Du mußt bei deinem Vortrag auch verstehen was du sagst

Ich würde deinen Vortrag wie folgt halten.
1 Beispiel anführen ( obiges )
Berechnung nach Keplerscher Faßregel
Berechnung nach Rotationskörper.

Das sollte für eine " 4 " langen.
Bin gern weiter behilflich
Dann rechnen wir das einmal durch.

---

Mein Vortrag geht nicht nur über diese Aufgabe, sondern das die erste, die einfachste und die mit am wenig Zeit aufwendigste AUfgabe :D aber das was du notiert hast, werde ich versuche zu verstehen <3 vielen dank

---

Ich habe mich einmal weiter kundig gemacht.
Mit der Keplerschen Faßregel kann die Fläche
einer Funktion näherungsweise berechnet werden.
b = obere Grenze
a = untere Grenze
A = ( b - a ) / 6 * ( f ( a) + 4 * f ( (a+b)/2 ) + f(b) )
( Siehe deinen Bildschirm )
Die Fläche kann auch mit Hilfe der Integralrechnung
bestimmt werden.
A = ∫ f ( x ) dx zwischen a und b

MIt Rotationskörpern hat dies bisher nichts zu tun.

Wird anstelle es Funktionswerts f ( x ) die
Rotationsfläche f^2 * pi eingesetzt dann dürfte sich
bei beiden Methoden das Volumen ergeben

---

Was ich nicht verstehe ist, welche Werte ich denn hierbei nehmen muss ? Also ich habe diese funktion jetzt f² * pi * ( b - a ) / 6 ( f (a) + 4 * f ( (a+b)/2) + f(b) ) aber welche werte sollte ich denn für a oder b einsetzen ? Ich habe ja keinen Graphen gegeben, noch sonst was ?

---

Beschreibe den Zusammenhang zwischen obiger Geschichte und der Berechnung des Volumens von Rotationskörpern.
Das ist deine Aufgabe.
Eine Antwortmöglichkeit wäre

Keppler hal einen Vorläufer zur Flächenberechnung
unterhalb einer Funktionskurve entwickelt.
b = obere Grenze
a = untere Grenze
f Ist die Funktion
ohne das hierzu die damals noch unbekannte
Integralrechnung nötig wäre
∫ f ( x ) dx zwischen b und a
ist gleich
( b - a ) / 6 * ( f (a) + 4 * f ( (a+b)/2) + f(b) )
zwischen b und a

Die Formel läßt sich auch zur Berechnung
von Rotationskörpern verwenden.
g ( x ) = f ^2 * pi
( b - a ) / 6 * ( g (a) + 4 * g ( (a+b)/2) + g (b) )

---

Hier die Lösung deiner Aufgabe 4

Vergleich Kepler / Integralversion.
Es kommt dasselbe heraus.

Answer 2

Der Querschnitt eines Fasses kann in ein Koordinatensystem gelegt werden:

Die Funktionsgleichung der begrenzenden Parabel kann mit Hilfe der Größe b, r und h bestimmt werden. Das Fass ist dann ein Rotationskörper bei Rotation der Parabel in den Grenzen von -h/2 bis h/2 um die x-Achse.

Comments

Ich bin in der 12 Klasse und schlecht in Mathe, also wirklich an einer 6 grenzend.. aber ich habe mir hierzu die Formel angeguckt aber ich weiß halt nicht wie ich diese anweden kann, da ich keinen Integral hab .. 

Ich muss eine Präsentationsleistung erbringen und das war die erste Aufgabe davon.. weiß nicht wie ich lösen bzw. erklären soll ;/ weil hätte ich eine formel, dann hätte ich die Lösung erklärebn können, an der Tafel, aber hier gibt es ja keine Werte

---

An wen richtet sich dieser Kommentar?

---

an dich :D oder habe ich was irreführendes gesagt ?

---

Verstanden.

Eigentlich kann man aus den vorhandenen Antworten alles gewinnen, was man für einen Vortrag an der Tafel braucht. Aber - wie ich in deinem Falle vermute - kannst du das nicht.

Vielleicht brauchst du ja ein Manuskript für deinen Vortrag. Wie auch immer: Schreib mir eine e-mail (Adresse in meinem Profil).

Answer 3

Hallo Kaiser,

ich habe gerade nach "kepler fass hochzeit" gegoogelt und eine 13-seitige pdf-Datei gefunden. Vielleicht hilft die weiter.

Comments

Hey danke für deine Antwort!

ich bin leider zu dumm, um all diese formeln und dinge irgendwie zu verstehen

---

Ich vermute, dass in einer Präsentation die ganzen Rechnungen gar nicht gebraucht werden. In der pdf-Datei steht doch viel Text, der dir doch beim Vortrag bestimmt hilft.

Welche mathematischen Details erwartet werden, müsste dir dein Lehrer angedeutet haben. Also ich würde Pythagoras, Volumen eines Zylinders, Funktionsgleichungen und so vermuten.