Question

Ungleichung mit Betrag lösen:

|x-2| / x < x

Ich benötige zu dem Ergebnis aber auch den Lösungsweg. Normalerwiese müßte ich ja 2 Fälle haben. Aber wenn ich das x unterem dem Bruchstrich rüber hole habe ich x² auf der einen und x-2 auf der anderen.

Answer 1

Hi,

hier hast Du etwas mehr Fälle.

 

1. Fall x≥2

x-2<x^2

x^2-x+2>0   |pq-Formel

x>0 für x∈ℝ

Also Ungleichung vorerst für x≥2 erfüllt.

 

2. Fall 0≤x<2

-x+2<x^2

y^2+x-2>0   |pq-Formel

--> x>1

Also Ungleichgung vorerst für 1<x<2 erfüllt.

 

3. Fall x<0 (Rechenzeichen drehen bei Multiplikation mit x)

-x+2>x^2

x^2+x-2<0    |pq-Formel

--> -2<x<1

Also Ungleichung vorerst für -2<x<0 erfüllt.

 

Alle Fälle zusammengefasst bleiben folgende Intervalle um die Richtigkeit der Ungleichung zu garantieren:

x>1 und -2<x<0

 

Grüße

Comments

ich hab versucht die einzelnen Fälle nachzuvollziehen.... ich komm da irgendwie nicht auf die selben ergebnisse.... Kannst du vielleicht die einzelnen Fälle noch ein bisschen ausführlicher beschreiben wie du vorgehst....

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Kannst Du sagen wo Du hängst. Eigentlich kann man da nicht viel ausführlicher werden.

Verwirrt Dich eventuell das zusammenfassen der Lösungsmengen? ;)

1. Fall x≥2

x-2<x²

x²-x+2>0   |pq-Formel

x>0 für x∈ℝ

Also Ungleichung vorerst für x≥2 erfüllt.

 

Beachte, dass der grüne Teil der zu betrachtende ist. Dass die Gleichung für viel mehr x erlaubt ist, tut nichts zur Sache. Es wird die größtmögliche gemeinsame Menge genommen. Diese ist eben die Grüne ;).

 

 

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Fall 1.:

dann rechnst du nicht mit der pq Formel sondern nimmst dann das einfach an das der grüne Teil erfüllt ist. ????

Ich hab versucht mit der pq Formel zur Lösung zu kommen ???


Fall 2.:

die Null ist doch eine kritische zahl müßte der 2. Fall nicht heißen 0
irgendwie fühle ich mich so als würde ich mich im Kreis drehen?

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ich hab die 3 verschieden Fälle jetzt rausbekommen...

Ich komm aber nicht mit der PQ Formel klar....

Es kommt auf der linken Seite eine neg. Ergebnis unter der Wurzel raus...

was mach ich falsch ????

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Fall 1.:

dann rechnst du nicht mit der pq Formel sondern nimmst dann das einfach an das der grüne Teil erfüllt ist. ????

Ich hab versucht mit der pq Formel zur Lösung zu kommen ???

 

Ich hab doch mit der pq-Formel gerechnet. Nur war ich zu faul diese hinzuschreiben. Die Anwendung der pq-Formel dürfte kein Problem darstellen:

Bestimme zuerst: x²-x+2=0

Also die Nullstellen davon. Wie Du selbst sagst ist der Radikand negativ. Es gibt also keine Nullstellen. D.h. entweder ist das für alle x größer 0, oder kleiner 0. Mit Punktprobe findest Du heraus, dass für alle x obiges größer 0 ist.

x²-x+2>0 für x∈ℝ

Wenn wir nicht noch die Voreinschränkung x≥2 gehabt hätten, würde also jedes beliebige x die ursprüngliche Bedingung erfüllen. Wir hatten aber ja die Bedingung x≥2 gestellt, damit wir überhaupt erstmal auf x^2-x+2>0 umstellen konnten. Es muss also die Schnittmenge genommen werden. Diese beschränkt sich eben insgesamt auf x≥2.

 

Das für alle Teilbereiche machen ;). Damit klar?