Ungleichung mit Bruch und Betrag

Question

kann mir bitte jemand bei der Ungleichung helfen:

(x^2-12)/(x+7)<Ix+4I

ich habe versucht die 4 Fälle zu unterscheiden

1.Fall x+7 >0 und x+4>=0

2.Fall x+7 <0 und x+4<0

3.Fall x+7 >0 und x+4<0

4.Fall x+7 <0 und x+4>=0

ich habe aber große Probleme da auch x^2 rauskommt etc.

Kann mir bitte jemand sagen wie ich diese Ungleichung lösen kann?

Answer 1

(x^2 - 12)/(x + 7) < |x + 4|

1. Fall x < -7

(x^2 - 12)/(x + 7) < -(x + 4)

(x^2 - 12) > -(x + 4)(x + 7) --> wahr --> x < -7

2. Fall -7 < x <= -4

(x^2 - 12)/(x + 7) < -(x + 4)

x^2 - 12 < -(x + 4)(x + 7) --> keine Lösung

3. Fall x >= -4

(x^2 - 12) < (x + 4)(x + 7) --> x > - 40/11

Lösung: x < -7 ∨ x > - 40/11

Answer 2

Der Betrag ist nur bei x+4, also musst du nur  x<-4 und x>-4 unterscheiden

x<-4    (x²-12)/(x+7)= -x-4

<=>       x²-12   =  (x+7)*(-x-4)

<=>       x²-12   = - x² - 11x  - 28


<=>       2x²  + 11x  + 16 = 0

Mitternachtsformel zeigt:  keine Lösung !

x>-4    (x²-12)/(x+7)= x+4

<=>       x²-12   =  (x+7)*(x+4)

<=>    -11x - 40 = 0

<=>   x =  - 40 / 11  Ist in der Tat > -4 , also die einzige Lösung.

Comments

aber ich muss doch x+7 auch unterscheiden oder? Wenn ich es auf die andere Seite bringen will und es multipliziere muss ich ja nachschaun ob es negativ oder postiv ist? wegen dem Ungleichszeichen oder?

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Oh, hab mich verguckt, dachte, das wär eine Gleichung.