Ungleichung Betrag und Bruch Fallunterscheidungen?

Question

3-abs(2-x)>1-1/(2x)

Theoretisch braucht man ja 2 Fallunterscheidungen.

Also zum einen für den Betrag und zum anderen dann wenn ich bei der Umformung *2x rechne, also zum einen >0 und zum anderen <0.

Hoffe ihr könnt mir helfen.

Danke.

Answer 1

3 - |2 - x|  > 1 - 1/(2·x)

1. Fall:  x≥2   (Term im Betrag ist beim Weglassen negativ zu nehmen)

3 + 2 - x > 1 - 1/(2·x)  | -1  

4 - x > -1/(2x)  | * 2x

8x - 2x² > -1   | : (-2) | - 1/2

x² - 4x - 1/2 < 0

pq-Formel ergibt für die Nullstellen der Parabel   x₁ = 2 - 3·√2/2  ;  x₂ = 3·√2/2 + 2

 → Lösungen der Ungleichung in  ] 2 - 3·√2/2 ; 3·√2/2 + 2 [

L₁ = [ 2 ; 3·√2/2 + 2 [

2. Fall: x<2

3 - 2 + x > 1 - 2/x

x  >  - 2/x    | * 2x  (Vorzeichen beachten!)

Fall 2.1 x>0 

x² > -2  immer wahr

L₂₁ = ] 0 ; 2 [

Fall 2.1 x<0

x² < -2   immer falsch 

L₂₂ = {  }  

L = L₁ ∪  L₂₁ ∪  L₂₂  =  ] 0 ; 3·√2/2 + 2 [

Gruß Wolfgang