Ungleichung mit Betrag und Bruch: (|x| -2)/(2x-3) > 2.

Question

Ich möchte die Ungleichung lösen:

$$ \frac { |x|-2 }{ 2x-3 } >2 $$

Ich habe glaube ich die richtige Lösung, mich würde nur interessieren ob ihr das auch so bestätigen könnt.

Frage 2:

Ich hab mir das vom Meister persönlich abgeschaut (georgborn) das Skizzieren der Bedingungen und der Lösung. Man sieht ja förmlich die Lösung. Aber zum letzten Fall habe ich folgende Frage:

E gibt ja eine Überlagerung von x<3/2 und x>4/5 aber eben nicht mit x<0 dann ist das keine Lösung oder. Weil die Lösung nur eine ist, wenn sich alle drei Balken überlagern, oder?

Answer 1

Leiider kann ich den Lösungsvorschlag teilweise nicht entziffern. Ich würde zunächst mal auf beiden Seiten 2 subtrahieren und erhalte dann (Betrag(x)+4 - 4x)/(2x - 3)>0 Jetzt geht es um zwei Fallunterscheidungen, einmal für x>0 und einmal für x<0. In beiden Fällen ist der Satz zu verwenden: "Ein Bruch ist gößer Null, wenn Zahler und Nenner das gleich Vorzeiche. haben.Zusammen ergeben sich 4 Fälle, die mit "oder" verknüpft sind. Innerhalb eines jeden Falles sind die Bedingungen mit "und" verknüpft. Bei "oder" nimmt man die Vereinigungsmenge, bei "und" nimmt man die Schnittmenge der Teillösungen.

Answer 2

Zu beachten bei der Fallunterscheidung ist

| x |

und wann der Nenner positiv oder negativ wird
bei einer Multiplikation mit dem Nenner

x = 0 und x = 1.5

mein Fall 1

Eingangsvorausetzung zusammen mit dem Ergebnis

( x < 0 ) und ( x > 4 / 5 )

keine Schnittmenge

Fall 2

Eine Schnittmenge ist gegeben

Fall 3

Hier der Graph der Funktion. Alles was oberhalb der roten Geraden ist
gehört zur Lösungsmenge.

~plot~ ( abs(x) - 2 ) / ( 2 * x -3 ) ; 2 ; [[ -2 | 3| 0 | 3 ]] ~plot~

mfg

Comments

In hoffentlich besserer Qualität:

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Ich denke wir  sollten auf der Basis meines Vorgehens diskutieren.
Gehe bitte Zeile für Zeile vor.
Falls dir eine Zeile unklar ist dann frage nach.

mfg Georg

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Ich verstehe ungefähr, was du gemacht hast. Ähnliches hab ich mir auch gedacht daher überlegt und ersten Fall aufgestellt, für den Betrag gilt:

afür a≥0

−afür a<0

Das habe ich dann für Fall 1 angewandt: Somit hatte ich schon x>=0 und 2 Bedingung im Nenner:

2x-3>0 ergo x>3/2. Das ist für den ersten Fall.

Für den zweiten Fall habe ich dann geschaut, was passiert wenn der Nenner negativ ist:

2x-3>0 ergo x<3/2.

Für Fall 3 habe ich dann die zweite Regel des Betrages angewandt. 

Ich habe sozusagen zwei Bedingungen miteinander kombiniert: Für den Betrag && Nenner

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Also dein Rechenweg leuchtet mir ein!

 Ich habe nun einfach für jeden Fall zwei Bedingungen aufgestellt, für den Betrag und den Nenner.

Daher hatte ich für meinen ersten Fall: x>=0 (Betrag) && x>3/2 (für den Nenner)

hab das ganze dann ausgerechnet, hier bleibt alles gleich! Am Ende dreht sich das Zeichen wegen der Division.

Fall 2 War dann gleiche Bedingung Für den Betrag nur der Nenner wurde dann als negativ betrachtet:

Daher x>=0 && x<3/2

Dein Weg ist aber der deutlich geschicktere!

Und verstanden ist er auch!

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VLLT ist die Frage trivial aber:

Wenn ich x<0 betrachte

-x-2<4x-6 |-4x

-5x-2<-6...

Aber was ist mit:

auch für x<0

-x-2< -4x -6  |+4x

dreht sich dann das Zeichen?

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Das Relationszeichen dreht sich bei Additionen und
Subtraktionen nicht

-4 < - 2  | + 3
-1 < + 1
Stimmt offensichtlich noch.
Weiter Beispiele kannst du dir selbst ausdenken

Multiplikationen
-4 < -2  | * 2
-8 < - 4
Stimmt noch

-4 < -2  | * - 2
+ 8 < + 4
Stimmt nicht merhr.

Merke : wird bei einer Ungleichung auf beiden Seiten
multipliziert oder dividiert :
mal einem positivem Wert : das Ungleichheitszeichen bleibt bestehen
mal einem negativen Wert : das Ungleichheitszeichen dreht sich um

Nochmals zur Vorgehensweise bei
- Beträgen : feststellen wann der Betrag positiv oder negativ ist
  z.B. ab der null muß die Betragsfunktion anderes gehandhabt werden.

- bei Ungleichungen : z.B. Term mit x steht im Nenner.
feststellen wann der Term positiv oder negativ ist
z.B. ab der null muß die Term  anderes gehandhabt werden.

Ich rate mein Beispiel einmal durchzugehen und
nachzurechnen / nachzustellen

Nullstellen feststellen. x = 0 und x = 1.5
Zahlenstrahl aufzeichnen und die Stellen markieren
die Bereiche feststellen 1,2,3
Es gibt nur noch diese 3 Bereiche. Keine Unterbereiche mehr.

Dann die Fälle / Bereiche abarbeiten.
1. Gedanken machen welche Werte ( postiv / negativ ) die Terme haben
und wie diese dann behandelt werden müssen

Geh jede meiner Zeilen  einmal durch.