Lineare Kongruenzen (Piraten und Goldmünzen)

Question

Aufgabe:

Die Anzahl Goldmünzen sei unbekannt, es gibt 12 Piraten.

Die Goldmünzen werden gleichmäßig auf die 12 Piraten verteilt. Dabei hat aber einer der Piraten doppelt so viele Münzen wie die 11 anderen. Es bleiben 10 Münzen übrig.

Zwei Piraten sterben, die Münzen werden neu verteilt. Ein Pirat hat dabei weiterhin doppelt so viele Münzen wie seine Kameraden. Es bleiben 4 Münzen übrig.

Der Pirat, der immer doppelt so viele Münzen hatte, stirbt. Die Münzen werden neu verteilt. Es bleibt eine Münze übrig.

Wieviele Goldmünzen gibt es mindestens?

Problem/Ansatz:

Ich habe mir folgendes System aufgebaut:

x kong 10 mod 12

x kong 4 mod 10

x kong 1 mod 9

wobei da natürlich nicht drin ist, dass einer der Piraten in den ersten beiden Schritten immer das Doppelte hat. Was muss ich bei mir da noch ergänzen? Danke für jede Hilfe :)

Comments

Kommt noch drauf an, ob in der dritten Periode wieder einer doppelt so viele Münzen hat wie die anderen. Wenn ja, dann komme ich auf 400 Münzen. Wenn nein, dann 829.

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Nein, in der dritten Periode hat jeder Pirat dieselbe Anzahl. Demnach müsste also 829 richtig sein. Darf ich fragen, wie du vorgegangen bist? Danke für die Antwort :)

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Nicht so, wie der Aufgabentitel postuliert... sondern mit Ausprobieren. Wenn es akademischer sein soll: Den chinesischen Restsatz hattet Ihr schon?

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Ja, hatten wir :) Habe ja auch versucht, mir so ein System von Kongruenzen aufzubauen, was man mit dem Restsatz ja dann lösen könnte. Bin mir nur halt nicht ganz klar, wie ich die ersten zwei Perioden angehen soll...

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Ich würde mod 13 teilen anstatt mod 12 dann kriegt der 12. Pirat das 12. und das 13. Dreizehntel, mithin doppelt so viel wie alle anderen.

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Achso! Das ist also der Trick. Dann müsste in der 2. Periode aber auch mod 11 gerechnet werden, oder?

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Das funktioniert auch mit Eichhörnchen und Nüssen. Oder Niklaussäcken und Mandarinen.

Answer 1

Die Lösung ohne das Wort "mindestens" in der Aufgabe wäre k = 1287n + 829, n ∈ ℕ₀

wobei 1287 = kleinstes gemeinsames Vielfaches von (13, 11, 9).