Ich wiederhole das Prinzip der linearen Fortsetzung: Seien \(f,g:V\to W\) zwei lineare Abbildungen und \(B=(b_1,\ldots,b_n)\) eine Basis von \(V\). Dann gilt \(f=g\) genau dann, wenn für alle \(i\in\{1,\ldots,n\}\) gilt: \(f(b_i)=g(b_i)\). Sprich: Zwei lineare Abbildungen sind genau dann gleich, wenn sie auf einer Basis die gleichen Funktionswerte haben.
Zum Beweis, wir haben zwei Richtungen, die werden einzeln bewiesen:
Sei \(f=id\), dann gilt \(f(b_i)=b_i\), damit gilt in Basis \(B\): \(D(B,B,f)\cdot e_i=e_i\), wobei \(e_i\) an der i-ten Stelle eine 1 hat und sonst nur Nullen. Daraus folgt bereits, dass \(D(B,B,f)\) die Einheitsmatrix sein muss.
Umgekehrt: Sei \(D(B,B,f)\) die Einheitsmatrix. Dann gilt natürlich genau andersrum \(D(B,B,f)\cdot e_i = e_i\), die Matrizenmultiplikation gibt ja gerade die Basiskoeffizienten an, deshalb muss \(f(b_i)=b_i\) für alle \(b_i\in B\) gelten. Nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung gilt \(f=id\).
