Darstellung der Normalform bei Vektoren und weitere Aufgaben (Darstellung der Ebene, Normalenvektor, Schnittgerade)

Question

Hier einige Aufgaben die ich so nicht direkt Lösen konnte.

 

Aufgabe:

a) Berechnen Sie eine Darstellung der Ebene \( E, \) die den Punkt \( P_{0}(1,2,3) \) enthält und den Normalenvektor

\( \vec{N}=\left(\begin{array}{l}{5} \\ {2} \\ {1}\end{array}\right) \) hat. Berechnen Sie auch die Schnittgerade dieser Ebene mit der \( (x, y) \) - Ebene!

b) Gegeben sind die Ebenen \( E_{1} \) durch \( x=y \) und \( E_{2} \) durch \( x-y+2 z=3 \) Berechnen Sie eine Parameterdarstellung der Schnittgerade der beiden Ebenen \( E_{1} \) und \( E_{2} \).

Berechnen Sie dann eine Parameterdarstellung der Ebene, die die Schnittgerade der beiden Ebenen \( E_{1} \) und \( E_{2} \) enthält und die senkrecht auf der Ebene \( E_{1} \) steht.

 

Answer 1

(x | y | z) * (5 | 2 | 1) = (1 | 2 | 3) * (5 | 2 | 1)
5x + 2y + 1z = 12

x,y Ebene heißt z = 0

5x + 2y = 12

Wenn eine Parametergleichung erwünscht dann 2 Punkte wählen, indem man einmal x und einmal y gleich Null setzt.

(0 |12/2 | 0) = (0 | 6 | 0) und (12/5 | 0 | 0) = (2,4 | 0 | 0)

g: x = (0 | 6 | 0) + r * (2,4 | -6 | 0)

 

b)

x = y
x - y + 2z = 3

Da wir eine Variable eh frei wählen dürfen wähle ich y = t. Daraus folgt

x = y = t
t - t + 2z = 3
z = 1,5

Das stelle ich jetzt als Geradengleichung auf

g: x = (0 | 0 | 1,5) + r * (1 | 1 | 0)

Wenn jetzt noch ein Vektor gesucht wird, kann ich ja den Normalenvektor von E1 nehmen, also:

E: x = (0 | 0 | 1,5) + r * (1 | 1 | 0) + s * (1 | -1 | 0)