Lösungsmenge einer Kongruenz bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle x ∈ ℤ, die folgende Gleichung erfüllen:

i. x  ≡ 1 mod 12,

ii. x + 2  ≡ 0 mod 12,

iii. 2x  ≡ 4 mod 12.

Problem/Ansatz:

ich soll von den oben genannten Kongruenzen die Lösungsmengen bestimmen.

Mein Ansatz wäre eine lineare Funktion, mit welcher ich die x-Werte bestimmen könnte:

i. x = 12y +1

Ich wüsste aber nicht wie ich weiter verfahren sollte.

Answer 1

Scherzaufgabe?

aus i folgt, dass x ungerade ist

aus ii folgt, dass x gerade ist.

L=∅

falls 3 Aufgaben:

i: 12 I x-1, also {... 1,13,25,37...}

I heißt "teilt". a≡b mod c heißt 12 teilt a-b.

x≡1 mod 12 heißt x=1 +k*12, k∈ℤ

ii: 12 I x+2, also {... -2,10,22,34...}

iii : 2x≡4 mod 12 also 12 I 2x-4=2(x-2)

also 6 I x-2, also {... 2,8,14,20,26...}

Answer 2

Hallo

i) x muss ungerade sein

ii) x muss gerade sein

welche Lösungen sind es dann? steht da wirklich überall mod 12?

Gruß lul

Comments

dann müsste für i. gelten: x ∈ {2y, y ∈ Z}

und für ii.: x ∈ {2y+1, y ∈ Z}

Und ja, da steht wirklich überall mod 12.

Danke schon mal für deine Hilfe.

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korrigiere:

i.: x ∈ {2y+1, y ∈ Z}

und für ii.: x ∈ {2y, y ∈ Z}

Answer 3

Warum in der Überschrift "eine Kongruenz" und unten "Kongruenzen" ?

Ist das alles eine Aufgabe oder sind das drei Teilaufgaben?

Bei i) allein ist die Lösungsmenge L = { .....-23, -11, 1, 13, 25, 37, ....}

usw.

Falls alles zusammengehört, ist die Antwort L = { } leere Menge, da die Lösungsmengen von i und ii keine gemeinsamen Elemente enthalten.

Comments

Ich vermute, dass es sich hierbei um drei Teilaufgaben handelt.

Es wird ja explizit nach x-Werten gefragt und eine leere Menge wäre da keine passende Antwort.

Wie kommt man denn jetzt genau auf die Lösungsmenge? Gibt es da ein bestimmtes Verfahren?

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Ich habe die bei i) einfach hingschrieben in "aufzählender Form". (kopfrechnen).

Du kannst auch schreiben L = { 12 k + 1 | k ∈ ℤ }  Das ist die gleiche Menge.

Interessanter ist dann erst iii.

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s.o die Ergänzung

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Dann müsste für ii. gelten: L = {...-42,-28,-14,0,14,28,42...} , {L = 12k +2 | k ∈ ℤ }

Und für iii.: L = {...-136,-56,-16, 4, 32, 88, 200...}, {L = 12k *2 | k ∈ ℤ }

oder liege ich völlig falsch?

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Achtung die negativen Elemente der Lösungsmenge bei ii stimmen noch nicht.

Bei iii hat dir Helmus das schon ausgerechnet. Da hast du viel zu wenige Elemente in der Lösungsmenge.

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ach ja, jetzt sehe ich es auch.