Bestimmen von Beschränktheit, Grenzwert und Konvergenz einer Zahlenfolge

Question

ich hänge ganz schön an einer Aufgabe fest und komme einfach nicht vorwärts.

Die Aufgabe:

Wir betrachten die Zahlenfolge {x_n} _n∈ℕ0 mit der Bildungsvorschrift:

x_n+1:= x_n/2 + 1/x_n , x₀ = 2.

1. Berechnen Sie die ersten 6 Glieder der Zahlenfolge.

2. Zeigen Sie: Liegt x_n im Intervall [1,2], so liegt auch x_n+1 in diesem Intervall. Folgern Sie daraus, dass die Folge beschränkt ist.

3. Zeigen Sie: Falls {x_n} _n∈ℕ0 einen Grenzwert g besitzt, so gilt g² = 2. Beachten Sie, dass damit nicht die Existenz des Grenzwertes gezeigt ist. Welche Werte kommen für g in Frage?

4. Wir zeigen nun, dass die Folge {x_n} _n∈ℕ0 tatsächlich einen Grenzwert besitzt. Betrachten Sie hierzu die Folge {y_n} _n∈ℕ0 mit y_n := x_n - √2. Zeigen Sie, dass {y_n} _n∈ℕ0 positiv und monoton fallend ist. Folgern Sie daraus die Konvergenz von {y_n} _n∈ℕ0 und {x_n} _n∈ℕ0.

Also 1. habe ich (hoffentlich richtig) schon gelöst. Für 2. wäre mein Lösungsvorschlag über die vollständige Induktion zu gehen.

Mein hauptsächliches Problem liegt eigentlich bei 3. und 4. Ich habe leider keinerlei Ideen zum Lösen.

Vielleicht kann mir jemand von euch etwas weiterhelfen!

P.S. Ich darf keinen Taschenrechner benutzen.

Liebe Grüße

Alena

Answer 1

Hallo

 zu 3) falls xn ->g dann auch x(n+1)->g  d.h g=g/2+1/g

4) zeige x(n+1)>√2 wenn  xn>√2,  und monoton yn>y(n+1) entweder Differenz >0 oder Quotient >1

Gruß lul