Aufgabe:
Ein Unternehmen \( A \) vertreibt Apfelmost und ein Unternehmen \( B \) Birnenmost. Die Nachfragen nach Apfelmost \( Q_{1} \) (in Kisten von 24 Litern) und nach Birnenmost \( Q_{2} \) (in Kisten von 24 Litern) sind gegeben durch $$ Q_{1}=30-0,5 P_{1}+0,4 P_{2} \quad \text { und } \quad Q_{2}=20-0,6 P_{2}+0,4 P_{1} $$ wobei \( P_{1} \) bzw. \( P_{2} \) der Kastenpreis von Apfelmost bzw. Birnenmost bezeichnen. Die Herstellungskosten sind \( C_{1}\left(Q_{1}\right)=10+2 Q_{1} \) für Apfelmost und \( C_{2}\left(Q_{2}\right)=6+4 Q_{2} \) für Birnenmost.
(a) Anfangs konspirieren beide Unternehmen um den zusammengefassten Gewinn zu maximieren. Bestimmen Sie die Preise \( P_{1} \) und \( P_{2} \) sowie die Produktionsniveaus \( Q_{1} \) und \( Q_{2}, \) die den zusammengefassten Gewinn maximieren. Begründen Sie, dass Sie das Maximum gefunden haben. Wie hoch ist der Gewinn jedes Unternehmens?
(b) Wie viel geht vom zusammengefassten Gewinn verloren, wenn es illegal ist, zu konspirieren?
Mein Lösungsweg → wo habe ich einen Fehler gemacht?
\( g a(x, y):=x \cdot(30-0.5 \cdot x+0.4 \cdot y)-(10+2 \cdot x) \)
\( g b(x, y):=y \cdot(20-0.6 \cdot y+0.4 \cdot x)-(6+4 \cdot y) \)
\( g(x, y):=g a(x, y)+g b(x, y) \quad \)
\( \begin{aligned} \text { solve }\left(\frac{d}{d x}(g(x, y))=0\right.& \text { and }\left.\frac{d}{d y}(g(x, y))=0, x, y\right) \\ & x=82.8571 \text { and } y=68.5714 \end{aligned} \)
\( \begin{array}{ll}{g(82.857142857143,68.571428571429)} \qquad = 1692.57 \\ {30-0.5 \cdot 82.85+0.4 \cdot 68.57} \qquad = 16.003 \\ {20-0.6 \cdot 68.57+0.4 \cdot 82.85} & {11.998} \\ {g a(82.85,68.57)} & {1150.15} \\ {g b(82.85,68.57)} & {542.423}\end{array} \)
solve \( \left(x=0.4 \cdot(y+70) \text { and } y=0.333333333333 \beth^{\circ}\right. \)
$$ x=38.4615 \text { and } y=26.1538 $$
\( g(38.46,26.15) \qquad = 1133.98 \)
\( 1692.5714285714-1133.98 \quad 558.591 \)
