Maximaler Gewinn über zweite Ableitung

Question

Wie bestimme ich den maximalen Gewinn bei folgender Gewinnfunktion:

G(x) = 3x³-30x²+106x+10-70x

Die erste Ableitung habe ich bereits gebildet und mithilfe der Mitternachtsformel bin ich auf folgende Nullstellen gekommen:

x₁ = 6 und x₂ = 2/3

Woher weiß ich nun welche der beiden Mengen die richtige ist, um damit den maximalen Gewinn zu erzielen?

Nachdem ich G(x) zum zweiten Mal abgeleitet habe erhalten ich:

G''(x) = 18x - 60

Setze ich x1 = 6 ein, erhalte ich G''(6) = 48 > 0

Setze ich x2 = 2/3 ein, erhalte ich G''(2/3) = -48 < 0

Ich dachte die korrekte Lösung wäre x = 2/3, da die zweite Ableitung kleiner ist als 0 und das ein Indiz für die korrekte Menge für den maximalen Gewinn ist. Die Lösung zu der Aufgabe besagt jedoch, das x = 6 korrekt ist

Answer 1

Die Funktion

G(x) = 3·x^3 - 30·x^2 + 106·x + 10 - 70·x

ist bestimmt nicht richtig. Vermutlich

G(x) = (70·x) - (3·x^3 - 30·x^2 + 106·x + 10) = - 3·x^3 + 30·x^2 - 36·x - 10

Ich habe das Maximum gekennzeichnet.

~plot~ -3x^3+30x^2-36x-10;{6|206};[[-1|9|-50|250]] ~plot~

Answer 2

Es sieht so aus, als ob die Gewinnfunktion nicht stimmt.

Muss es nicht heißen:  Erlös minus Kosten

also G(x) = 70x - (3x^3-30x^2+106x+10)     ???